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方程式を満たす整数x,yの組を全て求めよ という問題についてです。

この画像ではkを使って求めているのですが、同じ聞かれ方の

xy+3x-4y=17 の答えは、kなどを使わずに(9,-2 )のように解答に書いてあります。

テストで出た時はどのように区別すればいいのですか??

至急です。よろしくおねがいします!

「方程式を満たす整数x,yの組を全て求めよ」の質問画像
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A 回答 (3件)

要するに、(…)・(…) のように、積のかたちで着るかどうかできまります。



xy+3xー4y=(xー4)(x+3)+12=17 から、整数という条件からきまりますが、
そうでなければ、kをたてて、条件を絞るしか無理でしょうから!
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テストで出た時はどのように区別すればいいのですか??


解が整数という条件が付く問題は、解が代数計算からは定まらないことが多いので、そういう問題は不定方程式といいます。解の数が1個か、多数か、無限個か、それを都合よく区別する方法はないのです。それぞれの問題を正しく解くしか、ありません。しかし、正しい解法を知っていれば、それは、すぐ解けます。
3x-7y=1のように、1次式のax-by=c(またはax+by=c)の形の問題はディオファントス方程式といい、1500年前から一般解法がわかっていて、一つの解が見つかれば、解は無限個あり、kを使って解を表すことができます。しかし、cをaとbの最大公約数で割ったとき、もし、割り切れなかったら、解はありません。また、一つの解をすばやく見つける方法として、ユークリッドの互除法があります。それらを調べて勉強すればわかります。
もう一方のxy+3x-4y=17は、xyの項があるので、xとyの2次式という分類になります。この式を(x-4)(y+3)=5と変形する。5は5×1,1×5,(-5)×(-1),(-1)×(-5)と4通りに分解できるので、それらを(x-4)と(y+3)の因数に等しいとすると、x-4=5、y+3=1から、(x,y)= (9,2)・・・(3,-8)など4通りの解がある。問題の式の右辺を1増やして、xy+3x-4y=18にすると、(x-4)(y+3)=6の分解は8通りに増えるので、解も8通りに増える。一つずつ勉強すればよい。
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>>xy+3x-4y=17 の答えは、kなどを使わずに(9,-2 )のよう・・・



この答はx=9、y=-2の時しか無いから(9,-2 )。

3x-7y=1は不定方程式と言い、解が無限にある。
(x,y)=(-2,-1)、(5,2)、(19,8)、(26,11)、・・・・と延々と続く
(-9,-4)、(-16,-7)・・・・も同様

これ等を一遍に表現する必要がある。
kを整数とした時、(x,y)=(7k-2,3k-1)が解。

kに具体的な(・・・-1,0,1,2,3・・・)を代入すれば解です、と言わなくてはならない。
それが数学。
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