方程式を満たす整数x,yの組を全て求めよ という問題についてです。 この画像ではkを使って求めている

方程式を満たす整数x,yの組を全て求めよ という問題についてです。

この画像ではkを使って求めているのですが、同じ聞かれ方の

xy＋3x-4y＝17 の答えは、kなどを使わずに（9,-2 ）のように解答に書いてあります。

テストで出た時はどのように区別すればいいのですか??

至急です。よろしくおねがいします！

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/01/15 12:17

要するに、(…)・(…) のように、積のかたちで着るかどうかできまります。

xy+3xー4y=(xー4)(x+3)+12=17 から、整数という条件からきまりますが、
そうでなければ、kをたてて、条件を絞るしか無理でしょうから！

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/01/12 10:05

テストで出た時はどのように区別すればいいのですか??

解が整数という条件が付く問題は、解が代数計算からは定まらないことが多いので、そういう問題は不定方程式といいます。解の数が1個か、多数か、無限個か、それを都合よく区別する方法はないのです。それぞれの問題を正しく解くしか、ありません。しかし、正しい解法を知っていれば、それは、すぐ解けます。
3x-7y=1のように、１次式のax-by=c(またはax+by=c)の形の問題はディオファントス方程式といい、1500年前から一般解法がわかっていて、一つの解が見つかれば、解は無限個あり、ｋを使って解を表すことができます。しかし、cをaとbの最大公約数で割ったとき、もし、割り切れなかったら、解はありません。また、一つの解をすばやく見つける方法として、ユークリッドの互除法があります。それらを調べて勉強すればわかります。
もう一方のxy＋3x-4y＝17は、xyの項があるので、xとyの2次式という分類になります。この式を(x-4)(y+3)=5と変形する。5は５×1，１×5，(-5)×(-1)，(-1)×(-5)と4通りに分解できるので、それらを(x-4)と(y+3)の因数に等しいとすると、x-4=5、y+3=1から、(x，y)= (9，2)･･･(3，－8)など4通りの解がある。問題の式の右辺を1増やして、xy＋3x-4y＝18にすると、(x-4)(y+3)=6の分解は8通りに増えるので、解も8通りに増える。一つずつ勉強すればよい。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/08 21:43

>>xy＋3x-4y＝17 の答えは、kなどを使わずに（9,-2 ）のよう・・・

この答はx=9、y=-2の時しか無いから（9,-2 ）。

3x-7y=1は不定方程式と言い、解が無限にある。
(x,y)=(-2,-1)、(5,2)、(19,8)、(26,11)、・・・・と延々と続く
(-9,-4)、(-16,-7)・・・・も同様

これ等を一遍に表現する必要がある。
kを整数とした時、(x,y)=(7k-2,3k-1)が解。

kに具体的な（・・・-1,0,1,2,3・・・）を代入すれば解です、と言わなくてはならない。
それが数学。