数Ⅱ平面ベクトルです。 三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD、辺BCを2:1に内分す

数Ⅱ平面ベクトルです。

三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD、辺BCを2:1に内分する点をEとし、直線CD,AEの交点をPとする。ベクトルAPをベクトルAB,ベクトルACを用いて表し、AP:PEを求めよ。

この問題教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/11 05:21

まず、内分点の公式を復習しましょう。

線分FGをm:nに内分する点をXとすると、
ベクトルOX = (n/(m+n))ベクトルOF + (m/(m+n))ベクトルOG です。
t = m/(m+n) と置けば、
ベクトルOX = (1-t)ベクトルOF + tベクトルOG とも書けます。

この公式を導くには、点Oから点Xへ行くには
Oからまず点Fへ行って、その後ベクトルFG方向に
FGの長さのm/(m+n)倍進むと考えればよいです。
ベクトルOX = ベクトルOF + tベクトルFG
= ベクトルOF + t(ベクトルOG - ベクトルOF)
= (1-t)ベクトルOF + tベクトルOG
= (n/(m+n))ベクトルOF + (m/(m+n))ベクトルOG となります。

さて、内分点の公式を使って、
問題文に言われたとおりやってみましょう。
点Aを原点として、
ベクトルAD = (1/3)ベクトルAA + (2/3)ベクトルAB,
ベクトルAE = (1/3)ベクトルAB + (2/3)ベクトルAC,
ベクトルAP = (1-t)ベクトルAC + tベクトルAD
= (1-u)ベクトルAA + uベクトルAE と書けます。
ベクトルAD,AEを消去すれば
ベクトルAP = (1-t)ベクトルAC + t(2/3)ベクトルAB
= u(1/3)ベクトルAB + u(2/3)ベクトルAC
なので、一次独立なベクトルAB,ACの係数を比較して
(2/3)t=(1/3)u, 1-t=(2/3)u です。
一次方程式を解いて、t=3/7, u=6/7 とわかります。
よって、
ベクトルAP = (2/7)ベクトルAB + (4/7)ベクトルAC です。

もともと ベクトルAP = (1-u)ベクトルAA + uベクトルAE
だったので、Pは線分AEを6/7:1/7に内分します。
つまり、AP:PE=6:1 です。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2019/01/12 18:46

条件から

3↑ＡＥ＝↑ＡＢ＋2↑ＡＣ、
また条件から↑ＡＢ＝(3/2)↑ＡＤ
したがって
3↑ＡＥ＝(3/2)↑ＡＤ＋2↑ＡＣ　この両辺2倍して
6↑ＡＥ＝3↑ＡＤ＋4↑ＡＣ　この両辺7で割ると
(6/7)↑ＡＥ＝(3↑ＡＤ＋4↑ＡＣ)/7　この右辺＝↑ＡＱとすれば
Ｑは線分ＤＣを4：3に内分する点になっているので
線分ＤＣ上にある。同時に↑ＡＱは↑ＡＥの正の定数倍になっているので
3点ＡＱＥは同一直線上にある。したがってＱ＝Ｐ。
したがって
↑ＡＰ＝(3↑ＡＤ＋4↑ＡＣ)/7　これと)↑ＡＤ＝(2/3)↑ＡＢとから
↑ＡＰ＝(2↑ＡＢ＋4↑ＡＣ)/7

つぎに
(6/7)↑ＡＥ＝↑ＡＰだから(6/7)ＡＥ＝ＡＰ　これからＡＰ：ＡＥ＝6：7
ゆえにＡＰ：ＰＥ＝6：1

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2019/01/10 07:51

点Pは線分CDを内分する点であり、線分AEを内分する点でもある。

二つの内分の比をそれぞれ変数で表せば連立方程式が出来上がるのでこれを解けば内分の比がわかる。それが出来ればベクトルAPも書き表せます。