急にこうなる意味がわかりません。お願いします

急にこうなる意味がわかりません。お願いします

質問者からの補足コメント

• 見にくかったので

  
    補足日時：2019/01/20 20:06

• ありがとうございます！！
  こちら直交空間だから転置するのであって、このような問題は転置せずに問いていんですか？
  問二です

  
    補足日時：2019/01/21 18:29

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/21 19:39

転置するのは、内積をとるためです。

実ベクトル x と y の内積は行列積 x^T y ですから。
直交するという部分は、その内積が 0 になる
という条件で表現されています。

補足の問題２には、問題３の文中に現れている
シュミットの直交化法が使えます。
シュミット直交化については、その写真の教科書ででも
確認してください。たいていの教科書に載っているし、
ネットにも解説がたくさんあります。

a1〜a6 を並べた組にシュミット直交化を施すのですが、
その途中、新しい基底の替りに0ベクトルが現れることが
あります。その際は、0ベクトルを無視して組の次のベクトルへ
作業を進めるだけでいい。直交化の操作が組の最後まで
到達したとき、その操作で作られたベクトルのうち０でない
ものを集めた組が、この空間の直交基底のひとつに
なっています。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/21 03:07

解像度的に、依然として見難いのですが。

問題文も一部スキャンされてないしね。

a1 = (4 4 3 4)^T,
a2 = (3 0 1 1)^T
が張る K^4 の部分線型空間を W とし、
W の直交補空間の基底を一組求めよ
という問題ですかね？
答えは、< (-4 -5 12 0)^T　(-1 -2 0 3)^T >
でしょうか。（^T は行列の転置を表しています）

写真の答案は、説明が全く不十分ですね。
答えは合ってるけど。

a1^T, a2^T を行として並べた行列を A と置き、
掃き出し法で、A に行基本変形を施して
左側の成分を単位行列と同じ形にすると、写真のように
1　　0　　1/3　　1/3
0　　1　　5/12　　2/3
となります。この行列を B と置いて、
A の直交補空間 { x | Ax=0 } と
B の直交補空間 { x | Bx=0 } は同じ空間です。
A から B への行基本変形 E を B = EA 置いて、
E が正則なことから Ax=0 ⇔ EAx=0 だからです。

Bx=0 となる一次独立な x を求めれば
答えになるのですが、写真の答案は
その工程を省略してしまっているのです。
肝心なところなのにね。

B(p q r s)^T=0 を成分で書くと
p = (-1/3)r + (-1/3)s,
q = (-5/12)r + (-2/3)s
となっているので、適当な r,s を代入して
(p q r s) が見つかればよいわけです。
W が２次元なので、一次独立なものが
4-2 個あればいいですね。

分母が払えるようにうまい r,s を見繕って、
r=12, s=0 に対して p=-4, q=-5、
r=0, s=3 に対して p=-1, q=-2。