数学です。 次の2問を教えてください！ ⑴2次方程式 x^2-2(a + 1)x+3a=0が、-1≦

数学です。
次の2問を教えてください！
⑴2次方程式 x^2-2(a + 1)x+3a=0が、-1≦x≦3の範囲に2つの異なる実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ求めよ 。
⑵aが( 1 )で求めた範囲を動くとき、放物線y=x^2-2 (a + 1)x+3aの頂点のy座標が取りうる値の範囲を求めよ。

No.2 回答者： ken_den 回答日時： 2019/01/24 15:01

内容は重複しているかと思いますが...図にしてみました

条件をｘに代入して
y=(-1)²-2(a+1)(-1)+3a
　=1+2a+2+3a
　=5a+3=0
a=-3/5
y=(3)²-2(a+1)(3)+3a
　=9-6a-6+3a
　=-3a-3=0
a=1
したがって
-3/5≦a≦1になる

x²-2(a+1)x+3a=0
{x-(a+1)}²-(a+1)²+3a
　={x-(a+1)}²-(a²+2a+1)²+3a
　={x-(a+1)}²-a²+a-1
頂点の座標は
(a+1,-a²+a-1)
y=-a²+a-1
y'=-2a+1=0 で最大値を得るから
a=1/2
y=-1/4+1/2-1
　=-3/4
座標:(1/2,-3/4)

以下はa=-3/5,1を元式に代入する
a=-3/5
y={x-(a+1)}²-a²+a-1
　={x-(2/5)}²-(-3/5)²-3/5-1
　={x-(2/5)}²-(9/25)-15/25-25/25
　={x-(2/5)}²-49/25
座標:(2/5,-49/25)
a=1
y=(x-2)²-1+1-1
　=(x-2)²-1
座標:(2,-1)

y座標範囲:-3/4～-48/25

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/24 10:02

二次方程式の解の個数と係数の関係、二次関数の最大・最小のふつうの問題かと思います。

どこが分からなくての質問ですか？

(1) y = x^2 - 2(a + 1)x + 3a　　　　①
のグラフを考えてください。与えられた二次方程式の解は、この曲線と x 軸との交点です。
「-1≦x≦3の範囲の２か所でｘ軸と交わる」という条件を探してください。

まず、このグラフは
　y = [ x - (a + 1) ]^2 - (a + 1)^2 + 3a
　　= [ x - (a + 1) ]^2 - a^2 + a - 1　　　　②
と書けることから
・下に凸の放物線
・頂点は (a + 1, -a^2 + a - 1)
ということがわかります。

ということは、 x 軸との交点を持つためには、頂点は「x 軸よりも下」にないといけないので、その y 座標は負でなくてはいけません。つまり
　-a^2 + a - 1 < 0　　　　　③
（これは、実は与えられた二次方程式の「判別式」が正である条件と同じです）

さらに、「-1≦x≦3の範囲に2つの異なる実数解をもつ」ということは、グラフのｘ軸との交点がこの範囲なので、軸のｘ座標は
　-1 < a + 1 < 3　　　　　　④
でなくてはいけません。

かつ、x=-1, 3 では、このグラフは「x 軸上、またはそれよりも上」になければなりません。（頂点がｘ軸より下で、-1≦x≦3の範囲でx軸と交わるなら、必ずそうなりますね）
つまり、f(x) = x^2 - 2(a + 1)x + 3a として
　f(-1) = 1 + 2(a + 1) + 3a = 5a + 3 ≧ 0　　　　　　⑤
　f(3) = 1 - 6(a + 1) + 3a = -3a - 3 ≧ 0　　　　　　⑥

これらの条件を満足する a の範囲を求めます。
③より
　a^2 - a + 1 > 0
→　(a - 1/2)^2 + 3/4 > 0
なので、これはすべての実数aに対して常に成り立ちます。

④より
　-2 < a < 2
⑤より
　-3/5 ≦ a
⑥より
　a ≦ 1

以上の共通範囲は
　-3/5 ≦ a ≦ 1　　　　⑦

（別解）別解として「二次方程式の一般解」を使って、不等式を直接作る方法もあります。あまり頭を使わずに力づくでやるならこちらの方法かな。
与えられた二次方程式の一般解は、
　x = { 2(a + 1) ± √[ 4(a + 1)^2 - 12a ] } /2
　　= (a + 1) ± √[ (a + 1)^2 - 3a ]
　　= (a + 1) ± √(a^2 - a + 1)
解は -1≦x≦3 の範囲なので
　-1 ≦ (a + 1) - √(a^2 - a + 1)
かつ
　(a + 1) + √(a^2 - a + 1) ≦ 3
これを解けば
　-3/5 ≦ a ≦ 1
が得られます。

(2) 上に書いたように、放物線のｙ座標は
　y = -a^2 + a - 1
　　= -(a - 1/2)^2 - 3/4
なので、これは ay 座標系で
・上に凸の放物線
・頂点は (1/2, -3/4)

⑦の範囲に頂点を含むので、ｙ座標は
・a = 1/2 のとき最大値 -3/4
・a = -3/5 のとき最小値 -49/25
従って、とりある値は
　-49/25 ≦ y ≦ -3/4