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正八面体ABCDEFの各面の重心を頂点とし、
隣合う面どうしの頂点を結ぶことによって、
正八面体の中に立方体ができる。正八面体の
一辺の長さが6のとき、立方体の体積を求めよ。

の解き方が分かりません。解説も入れてくださると助かります。お願いします。

「正八面体ABCDEFの各面の重心を頂点と」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 答えは 16√2 になるらしいです。。。。。、

      補足日時:2019/01/30 10:37

A 回答 (3件)

座標軸を置いてみる手もあるかなあ。


この解法をヤシマ作戦と呼びますか(古

A(0,0,r)
C(r,0,0)
D(0,r,0) となる座標系が採れますね。
この座標で
B(0,-r,0) です。
正八面体の辺の長さから
CD = √(r^2 + r^2 + 0^2) = r√2 = 6 がわかります。

正三角形ACDの中心Gは
G = (A + C + D)/3 = (r/3,r/3,r/3)、
正三角形ABCの中心Hも同様に
H = (A + B + C)/3 = (r/3,-r/3,r/3)
ですから、
GH = (2/3)r = (2/3)(6/√2) = 2√2.
これが、中の立方体の一辺の長さです。

体積は、(2√2)^3 = 16√2.
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No.1様補足


(2√2)^3=16√2
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正三角形の重心は、30°60°の直角三角形で6等分するとわかるけど、、、


垂線(3√3)を1:2の割合で分けたものになる。

頂点(CとBなど)が重なる形で見てみると
三角形ADFは直角二等辺三角形になり、AD=DF=6
なので、AF=6√2になる。

なので、垂線の比と合わせ手考えると、直方体の一片の長さは
6√2を1:2の比率で分けたときの1の方になるので、2√2
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