A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
高校の理系数学で習う微分積分の知識が必要です。
知識があれば曲線の長さがもとめられます。曲線y=f(x)のx=a~x=bまでの長さは
L=∫√(1+{f'(x)}²)dx (積分区間a~b)です。
よって質問の長さなら
f'(x)=2xだから
求めるべき長さL=∫√(1+4x²)dx(積分区間0~1)
です。ただこの先の積分も楽であはりません。
以下いくつかやり方がありますが、2x=tanθ とおいて置換積分するのが最も思いつきやすい方法だと思います。ご自分で積分計算をやってみてください!
No.1
- 回答日時:
曲線に沿った長さ(「道のり」とも言います)は、おおざっぱに言えば、「テキトーな刻みで折れ線で近似して道のりを測り、その刻みを細かくしていった極限」として定義されるんです。
直交座標で点(x, y(x)) と 点(x+Δx, y(x+Δx))を結ぶ線分の長さをΔsとすると、ピタゴラスの定理を使ってΔs/Δx = (1/Δx) √( (Δx)^2 + (y(x+Δx)-y(x))^2 )
そして
Δx→0のとき Δs/Δx → ds/dx = √( 1 +(dy/dx)^2 )
というわけで、ご質問の場合
L = ∫ {0〜1} (√(1 + (dy/dx)^2) ) dx
= ∫ {0~1} (√(1 + (2x)^2) ) dx
この計算は
2x = tanθ
と変数変換すればナントカなるな。
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