同じ方向で同じ大きさの矢印で表されたベクトルの成分は等しいという事は証明しなくても良いのでしょうか？

同じ方向で同じ大きさの矢印で表されたベクトルの成分は等しいという事は証明しなくても良いのでしょうか？

No.1 回答者： OnneName 回答日時： 2019/02/28 22:26

「同じ方向」、「同じ大きさ」であることが「ベクトルの成分は等しい」ことの条件ですからそれが証明です。

この回答へのお礼

「同じ方向」、「同じ大きさ」であることと「ベクトルの成分は等しい」は等しい事なのですか？

お礼日時：2019/02/28 23:12

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/28 23:10

平面上に点A,B,C,D があって、AB//CD, AB=CD だとすれば、

ベクトルAB=ベクトルCD です。これは、ベクトルの定義です。
その上で、ベクトルAB と ベクトルCD の成分は等しいか？
という質問は、「成分」というものが上記のようなベクトルの定義
に対して well-defined であるか？という質問になります。

これを証明するには、Aを通りx軸に平行な直線と
Bを通りy軸に平行な直線の交点をP、
Cを通りx軸に平行な直線と
Dを通りy軸に平行な直線の交点をQとして、
△ABP≡△CDQ を証明すればよいです。
簡単だから、やってごらんなさい。

これは、「成分」という言葉を知った時点で
証明して理解しておくべきことで、
ベクトルの成分を使うたびに毎回証明する必要はありません。

この回答へのお礼

なるほど.やはりお絵かきして確かめなければならない事だったのですね.高校の教科書では特に説明なく事実として扱われていたので戸惑いました.3次元の場合だとどのように証明すれば良いのでしょうか？

お礼日時：2019/02/28 23:18

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/28 23:27

＞3次元の場合だとどのように証明すれば良いのでしょうか？

何次元でも、同じです。
矢印と、ひとつの成分とを２辺とする直角三角形が、
移動前と移動後で合同であることを示せばよいです。

No.4 回答者： think2nd 回答日時： 2019/03/01 12:48

高校レベルで解説します。

ベクトルaは始点と終点を持っています。このことからベクトルは方向(向き)と長さ(大きさ)を持ちます。終点と始点が一致すると方向がなくなります。でもベクトルと名付けます。
　ベクトルたちの(1)和(2)実数倍(3)相等を定義します。(これらから差、実数倍を交えたベクトル間での交換法則、結合法則、分配法則・・等が成り立つこともわかります。)
　また任意にとった2つのベクトルの位置関係を観察すると、一次独立か一次従属かの関係が生まれます。
　このようにベクトルを学ぶと、なぜ　"ベクトルの成分は等しいという事は証明しなくても良いのでしょうか？"と質問するか?　訳が分かりません。自明の理です。
　(質問者の　数学出来ません　の名が体を表しているのかな。)
　　
　高校ではベクトルの始点は固定されていません。しかも固定する必要はないのです。(固定する必要がないことは上記の(1)(2)(3)のどれにあたりますか。)　さて以下自明の理であることを説明します。
　問題は成分をどう定義しているかに因ります。
　　2つの方法でベクトルの成分を定義してみましょうか?
　　1つ目　平面上にある任意の→aをとってその→aの始点を座票平面上に移し始点を原点に重ねた時終点さす座標が(a,b)となれば
　　　　(a,b)を→aの成分という。(おそらく高校はこの方法だと思います。)
　　2つ目　平面上にある任意の→aをとってその→aの始点を座票平面上に移し始点を原点Oに重ねる。→aの終点Aをx軸とy軸に垂直に引いてそれら軸と交わる点をAx,Ayとする。またOを始点とし(1,0)、(0,1)を終点に持つベクトルをそれぞれ→e1、→e2とする。(単位ベクトルという)
　　→OAxは→e1と→OAyは→e2とそれぞれの位置関係が一次従属になる。よって→OAx=c(→e1)かつ→OAy=d(→e2)となる、実数c,dが一意に決まる。よって→a=(→OAx)+(→OAy)=c(→e1)+d(→e2)と→aは座標平面上で一意に書けます。この実数倍のc,dだけ(それぞれのベクトルの係数成分)をとって(c,d)を→aの成分という
　
　上の2つで成分を定義したとき→aの成分(a,b)と(c,d)が一致することを証明する必要があるのでしょうか。

　つまり　2つのベクトル→a、と→bについて"→aの成分が(2,3)のベクトルまた→b=2(→e1)+3(→e2)"であるとき→a=→bであることを証明せよといわれている気がしてなりません。

　　もう少し質問がわかるように質問してください。

この回答へのお礼

成分の定義は始点が(a1,a2,a3)終点が(b1,b2,b3)の時(b1-a1,b2-a2,b3-a3)とします.

お礼日時：2019/03/01 15:25

No.5 回答者： think2nd 回答日時： 2019/03/02 00:03

No4です。

返答ありがとうございます。しかしまだあなたの質問がわかりません。
　高校の範囲で説明します。しかも「・・・・??」を質問したいのかなと、勝手に仮定して、返事をお返しいたします。
1.ベクトル→aは方向と大きさを持っています。あなたは、"なるほど.やはりお絵かきして確かめなければならない事だったのですね"と'画用紙'にベクトルを描いてベクトルの和の性質、実数倍ベクトルを作図して、をあたかも絵に描いた餅のように、ベクトルの全容を理解します。
2.しかし1で得た性質や、定理を正しく他人に伝えることができません。誰もあなたの画用紙を見てないからです。
3.だから'画用紙'を'方眼紙'に持ち替えてベクトルを数値化するわけです。
4.もう方眼紙を他人に見せる必要はありません。
　ベクトル→aとをどう数値化するか。それは約束に則って数値化しています。成分ばかりでなく。べクトルの大きさも物差しを使わず、"2点間の距離"として定義しています。
　以上
　はて??
1には'成分'という言葉はありません。4で'成分'が現れます。　　
　　　"ベクトルの成分は等しいこと"について、
1で画用紙に書いた→aとその画用紙の上に方眼紙をぴったり乗せて求めた成分が等しいことを、どうやって証明するのでしょうか。証明する術すら思い浮かびません。
　以下またまた余計なことですが　4.のルールを守ってゲームすると楽しめますよ。失礼しました。

No.6 回答者： koji25 回答日時： 2019/03/02 12:35

まずベクトルの定義を確認しましょう。

ベクトルとは方向と長さで決まりますよね、
なので位置には関係しません
多分こういうことだと思います(成分なので位置が関係するとは思いますが)