質問です。
Zを正の整数として、点電荷Zeによる静電ポテンシャルφ(r)=1/(4πεo)Ze/rによって束縛された電子のエネルギー準位を前期量子論の考え方に基づいて考察する。ただし、rは点電荷Zeの位置の中心とする動径座標、eは電気素量、εoは真空の誘電率とし、電子の質量をmとする。
電子は等速円運動をしているものとする。軌道半径をr、角運動量をωとしてエネルギーEと角運動量Lをそれぞれ求めよ。
古典的運動方程式、および量子化条件L=n ħ(n=1,2,...)を用いて電子のエネルギー準位を求めると以下の形に書くことができる。
En=E1/n^2 (n=1,2,...)
E1の具体的な表式を求め、Zの何乗に比例するか答えなさい。
お願いします。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
条件より電子が点電荷Zeから受ける力のポテンシャルは、
-eφ(r)=-kZe²/r k=1/(4πεo)
したがって電子の全エネルギーは電子の速さをvとすれば
E=(1/2)mv²-kZe²/r になる。
ここで、電子が受ける力のポテンシャルからその力は -kZe²/r²で
つまり点電荷Zeから大きさkZe²/r²の引力を受けているので
円運動の条件から運動方程式は
mv²/r=kZe²/r²、これからmv²=kZe²/rこれを上のEの式に入れて
E=(-1/2)kZe²/r・・・①
また円運動の場合角運動量Lは、
L=rmvで、v=rωから、L=mr²ω・・・②
つぎに運動方程式は
mrω²=kZe²/r² とも書けるから、これからmr³ω²=kZe²
②の両辺2乗してL²=m²r⁴ω²、この2式から(kZe²)/L²=1/(mr)
(kmZe²)/L²=1/r、これを①にいれて
E=(-1/2)kZe²×(kmZe²)/L²=(-1/2)k²mZ²e⁴/L²
ここでL=n ħとすれば
E=(-1/2)k²mZ²e⁴/ħ²(1/n²)=-(mZ²e⁴/32π²εo²ħ²)/n²
これをEn=E1/n² と書けば
E1=-(mZ²e⁴/32π²εo²ħ²) でZ²に比例する。
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