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Aはn次正方行列とする。零行列ではない行列Bが存在して、AB=0またはBA=0が成立するという。このとき、Aは正則行列出ないことを示せ。

教えてください、お願いします

A 回答 (4件)

もしAが正則行列だと仮定すると、AB=0に左からAの逆行列であるA^(-1)を掛けるとB=0となり、矛盾。


また、BA=0に右からAの逆行列であるA^(-1)を掛けるとB=0となり、矛盾。
いずれにせよ矛盾が生じるので、Aが正則行列と仮定したことが誤りであり、したがって、Aは正則行列ではない(背理法)。
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条件は


①Ab=零列ベクトル
となる零ベクトルではない列ベクトルbが存在
②cA=零行ベクトル
となる零ベクトルではない行べクトルcが存在



①に左から、②に右からAの逆行列を掛けると

③b=A零列ベクトル
④c=零行ベクトルA

これは有り得ないので、Aの逆行列は無い。
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「正則」には、同値だが文言の異なる定義がいろいろ存在するから、


証明の具体的な形は、どの定義へ帰着させるか次第ですね。

(正則 ⇔ 逆行列が存在) なら、No.1 のようになります。

私は、(正則 ⇔ 可逆な一次変換の表現行列) という定義に則ってみましょう。
AB = O のほうをやってみると...
B が逆行列でないので、B の列の中に零ベクトルでない列があります。
それを b とすると、Ab = 0, b≠0 です。
Ab = A0 なので、これは A が正則であることに反しています。
BA = 0 も、行ベクトルの写像 y^T = x^T A を考えるだけで、同様です。
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Aはn次正方行列とする.


行列B≠0が存在して、
AB=0またはBA=0が成立する
Aが正則行列であると仮定すると
Aの逆行列
A^(-1)
が存在するから
AB=0
の時
両辺の左からA^(-1)をかけると
A^(-1)AB=0
B=0
となってB≠0に矛盾するから
BA=0
両辺の右からA^(-1)をかけると
BAA^(-1)=0
B=0
となってB≠0に矛盾するから

Aは正則でない
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