No.2ベストアンサー
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粛々と計算しましょう。
S = ∫{0,π}(sin x)dx = [ cos x ]_{0,π} = 2.
tan b = a, 0 ≦ b < π/2 なる b を置くと、
T = ∫{0,b}(sin x)dx + ∫{b,π/2}(a cos x)dx
= [ -cos x ]_{0,b} + a[ sin x ]_{b,π/2}
= (-cos b + 1) + a(1 - sin b)
= (-cos b + 1) + (tan b)(1 - sin b)
= { (cos b)(-cos b + 1) + (sin b)(1 - sin b) }/(cos b)
= { (cos b) + (sin b) - 1 }/(cos b).
S:T = 3:1 すなわち
2 : { (cos b) + (sin b) - 1 }/(cos b) = 3 : 1 となるのは、
外項の積 = 内項の積 を整理して
(cos b) + 3(sin b) = 3 のとき。
cos c = 1/√10, sin c = 3/√10, 0 ≦ c ≦ π/2 なる c を置けば
cos(b - c) = cos(π/2 - c) と書ける。
b - c = ±(π/2 - c) + 2πn (nは整数) のうち 0 ≦ b < π/2 を満たすものは
n = 0 にあたる b = 2c - π/2.
このとき、
a = tan b = tan(2c - π/2) = -2(tan c)/(1 - (tan c)^2)
= -2・3/(1 - 3^2) = 3/4.
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