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イメージとしては以下です
正四面体と外接球(中心をCとする)について、四面体の1つの面(正三角形)の重心Gを球の直径が垂直に貫いているというのは分かりますか?(ちなみに、正四面体の残りの頂点からGを含む正三角形に垂線を下すとき、その垂線の足はGと一致⇔正四面体の頂点⇔中心⇔重心と言う並びで、この3点は同一直線上)
次に、正四面体のサイズは変えないで、外接球の半径を小さくしていきます
すると、やがて球は四面体の内部に収まるわけですが、このときCGの延長(G側への延長)線と球面の交点(⇔交点Pと名付ける)に着目しながら半径を小さくしていってください。
Pにおける球面に接する平面(平面αとする)をイメージすると、半径縮小に伴い、CP⊥αを維持しながら、αはCに近づくことになりますが、「α」平行「Gをふくむ正三角形」なのでやがて、αと「Gをふくむ正三角形」は重なることになります。
つまり、外接球の半径を縮小していくと、やがて、球面がGで接する内接球になるというわけです。
当然ながら、正四面体の他の面でも同じことが言えるので、
正四面体の内接球の接点は各面の重心である
ことになります。
また、前に述べた通り、正四面体の頂点⇔外接球の中心⇔正三角形(四面体の1つの面)の重心は同一直線上(これは頂点から四面体の対にある面におろした垂線でもある)
外接球と内接球は中心が一致しているから、
正四面体の頂点から下ろした垂線上に内接球の中心 という事が言えます
なお、正三角錐と正四面体はおなじ事だと思います
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