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高校1年生数学の問題です。

1.直角を挟む2辺の長さの和が16である直角三角形の面積が最大になるのはどんな形のときか。また、その最大値を求めよ。

答え 直角三角形、最大値は32

2.直角を挟む2辺の長さの和が10である直角三角形について、斜辺の長さLの最小値を求めよ。

答え 5ルート2

この2問の途中式を教えてください。お願いします…

質問者からの補足コメント

  • 申し訳ありません。1番の答えは二等辺三角形でした

      補足日時:2019/06/08 05:36

A 回答 (7件)

No5の回答者です。

あらためて 2の解答例を示します。
「高校1年生数学の問題です。 1.直角を挟」の回答画像7
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No5の回答者です。

 2を、間違えてしまいました。 問題1のままで 斜辺を出してしまいました。 8を5に書き換えてください。
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2次関数の最大を利用します。

 求めたyをグラフにしても同じ結果になります。
JPEGを添付します。
「高校1年生数学の問題です。 1.直角を挟」の回答画像5
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余計な事ですが。



 直感では直角ニ等辺三角形と思いました。すでに回答あるように式の理屈は理解してます。

 さっくり式を想定すると二次関数になり、定数項は0。

 つまり等分すればいい。

 もちろん式で示さなければいけないのは当然ですが、数学って他の学問と違って結構パスル要素あります。

 恐らく今までの回答者様はイメージできていたと思います。

 もちろん直感は思い込みにもなりますので、しっかり数式で証明すべきですが、そんな感覚も必要ではないかと。
 

 余計な事で申し訳ない。
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1 直角を挟む辺のうち、一方をxとするともう一方は(16-x)


従って面積sは
s=(1/2)x(16-x)=-(1/2)(x²ー16x)=-(1/2)(x-8)²+32
ただし、辺の長さがマイナスになってはいけないから(0≦x≦16)
よってsがmaxとなるのはx=8のとき
これは、直角を挟む辺のうち、一方が8、もう一方は(16-8)=8と言うことになるから
形状が直角2等辺三角形のとき、最大値はs=-(1/2)(8-8)²+32=32

2
直角を挟む辺のうち、一方をxとするともう一方は(10-x)
斜辺をLとすると、三平方の定理から
L²=x²+(10-x)²=2(x²-10x)+100=2(x-5)²-50+100
⇔L²=2(x-5)²+50 (ただし0≦x≦10)
(L²=yとおくと
2次関数:y=2(x-5)²+50はx=5のとき最小値y=50をとるから)・・・[A]
よってx=5でL²は最小値50となる・・・[B]
このときL²=50⇔L=√50=5√2(L=-5√2は辺の長さとしては不適

なお、[A]部分は本来不要で,直接Bを記述しておけばで良い
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1 に関しては面積を 2倍すると長方形になるから


4辺の長さの和が 32 である長方形の面積が最大
と本質的に同じだし, その意味では「中学校の問題」でいいような気もするんだが, それはさておきその答えで「直角三角形」っていかがなものかねぇ.

「直角三角形の面積が最大になるのはどんな形のときか」→「直角三角形」
ってどう見ても変でしょ.
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1. 片方の辺の長さ x, もう片方を y として式を書いてみ?



2. 上に同じ
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