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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
三角関数の定義(教科書など参照)により
図でx軸とθの角をなす半径(動径)OP'の座標は(cosθ,sinθ)
よって上図ではP(cos(α+β),sin(α+β))
A(1,0)
2点間の距離の公式はあまり意識せずに、Pからx軸に垂線PHを引く
すると直角三角形APHが出来るから三平方の定理により
AP²=AH²+PH²
AH=x座標の差=1-cos(α+β)⇔AH²={1-cos(α+β)}²={cos(α+β)-1}²
PH=y座標の差=sin(α+β)-0⇔AH²=sin²(α+β)
よって
AP²={cos(α+β)-1}²+sin²(α+β)となります。
下図についても同じ要領でRQ²を表わすことが出来ます
No.2
- 回答日時:
「2点間の距離の公式」というのは、三平方の定理のことです。
平面上の2点 (a,b) と (x,y) の距離 r は、
この2点と (x,b) を3頂点とする直角三角形に
三平方の定理を使えば、r^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 と判ります。
A(1,0), P(cosγ,sinγ) なら
AP^2 = (cosγ - 1)^2 + (sinγ - 0)^2、
Q(cosβ,sinβ), R(cosα,-sinα) なら
QR^2 = (cosβ - cosα)^2 + (sinβ - (-sinα))^2
ですね。
下図の三角形は上図の三角形を
(原点中心に時計回りαだけ)回転したものですから、
AP = QR.
あとは、
(cosγ - 1)^2 + (sinγ - 0)^2 = (cosβ - cosα)^2 + (sinβ - (-sinα))^2
を式変形するだけです。
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