透磁率の考え方について教えて下さい。 ローレンツ力などを考える際には、磁場の強さ(H)が同じでも周辺

透磁率の考え方について教えて下さい。


ローレンツ力などを考える際には、磁場の強さ(H)が同じでも周辺の物質の透磁率(μ)により力の働きが変わるので、その効果を含めた磁束密度(B=μH)を用いるとよい、と参考書に書いてあります。
つまり、μが大きいほど大きな力が働きます。→ ①

一方で、磁気力に関するクーロンの法則、
(1/4πμ)m1m2/r^2(m1, m2 は各磁極の磁気量)
では、μが大きいほど小さな力が働きます。→ ②

一見逆のことを言っている①と②の整合性はどの様に理解すれば良いのでしょうか？

高校生の物理の範囲でのご説明をよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 皆さまのご意見を元に現場での疑問点を改めて記載させて頂きます。下記の考えのおかしい所を教えて下さい。(なお、現実には磁荷の根源が電流であることは理解しています。)
  
  ********
  磁荷mが作る磁場はクーロンの法則より
  (1/4πμ)m/r^2(μ:空間の透磁率) ・・・①
  B=μHより磁束密度はm/(4πr^2)・・・②
  ②より磁荷mの作る全磁束はm・・・・・③
  
  (A)一般に磁束密度は空間の透磁率に比例するため②の値も透磁率に応じて変化するはずだが、変化し得るのはmだけなので、mは空間の透磁率により変化する値と考えられる。
  
  (B)上記より磁荷をもたらす(周囲の透磁率によらない)物体固有の量はm/μであり、これが、現実には磁場(単位:N/Wb=A/m)の源である物質内の電流が作る物質固有の「磁場の素」である。
  
  以上、よろしくお願いします。

    補足日時：2019/06/15 12:13

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/13 08:12

電流によって生じる磁気双極子の見かけ上の両端の磁荷は

大体透磁率に比例する。

磁荷は存在しないので、電流をベースに考えれば、
①と②は矛盾しない。

この回答へのお礼

早速、ありがとうございます。

仮に磁極というものがあったとして考えると、mの中にμが入っている為に、上記クーロンの法則の分子にμ^2が隠れていて、結果式全体としてはμに比例していると考えてよい、という理解でよろしいでしょうか？

また、そうだとすると、mの値は一定の値ではなく周囲のμに比例して変化する値である、ということですね？

高校の教科書では磁荷の存在を前提にしているので、上記のような表現をさせて頂いております。

お礼日時：2019/06/13 10:05

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/13 15:55

「磁荷」はあくまで「電流」から発生し、その大きさ（磁力の強さ）はその「場」の中に置いた「磁気」に働く力の大きさする定義するので、「電流」を元に「磁気の強さ」を定義すると必ずその「場の定数」としての「透磁率」が必要になります。

「電流→空間→磁気の強さ→磁力の強さ」で決まるからです。
　「磁場の大きさ」である磁束密度「B」は、電流から定義したものなので、
　　B = μnI
などのように「透磁率」を含んで大きさが決まります。

②の式に使われている「磁気量」あるいは「磁荷」m1, m2 は、「静電力」（クーロン力）における「電荷」の概念を磁気力に延長したものですが、現実には「N極、S極の単独の磁荷」（いわゆる「単極の磁荷」「モノポール」と呼ばれるもの）というものは存在しません。
高校ではそれを使っているのですか？　だとすれば「電荷」から類推しやすいように便宜的に使っていると考えればよいでしょう。

そこで使っている「磁荷の大きささ(強さ)」は、「磁場の強さ」ではなく「磁荷そのものの強さ」を表し「空間」を考えていません。なので、電流と「磁気の強さ」は
　　H = nI
のように「電流の大きさ」だけで表されます。
この2つの間には、質問者さんが書かれているように
　B = μH
の関係があります。
これは、「H」が「そこにこの大きさの磁荷を置きましたよ」ということと等価であるのに対して、それを「場の大きさ」である「磁束密度 B」にするには「空間」の特性である「透磁率」を使った換算が必要だからです。

つまり、②の式の m1、m2 や、磁界の H は、「磁場の大きさ」ではなく「磁荷そのものの大きさ、強さ」を表し、磁束密度 B は「磁場の大きさ」を表していると考えればよいと思います。

そして、「透磁率」は、「透磁率の大きさにはよって○○が変わる」というものではなく、「磁荷の大きさ」と「磁場の大きさ」とを相互に換算するためには、それを介在させる必要がある、という「換算定数」と考えるべきものです。

H → B に換算するには「透磁率をかける」必要があるし、逆に B → H に換算するには「透磁率で割る」必要があるのです。

質問文の①で言っていることは「H → B に換算する」ときの話だし、②で言っていることは「B → H に換算する」ときの話だと思います。


#1さんへの「お礼」に書かれた

＞また、そうだとすると、mの値は一定の値ではなく周囲のμに比例して変化する値である、ということですね？

というのは、上の考え方から

・電場の大きさ（あるいはそれによって決まる力の大きさ）が一定ならば、その電場を作るのに必要な「磁荷」mの値は一定の値ではなく周囲のμに『反比例』して変化する値である（透磁率が大きければ、「磁荷」mの値は小さくてよい）

ということです。

逆にいえば、

・「磁荷」の大きさ ｍ が一定であれば、それによって生じる「磁場の大きさ = 磁束密度」、そこに置いた磁荷や電流に発生する力は、透磁率に比例して大きくなる

ということです。

「どちらを基準にして考えるか」ということです。

この回答へのお礼

詳しいご説明ありがとうございます。


>「磁荷」の大きさ ｍ が一定であれば、それによって生じる「磁場の大きさ = 磁束密度」、、、透磁率に比例して大きくなる

②式より、磁荷の大きさm(Wb)の磁極が距離rの点に作る磁束密度は、m/(4πr^2)になりませんでしょうか？
mが一定なら透磁率によらず磁束密度は一定だと思うのですが、、、
いかがでしょうか？

お礼日時：2019/06/13 19:53

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/13 20:58

No.2です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞②式より、磁荷の大きさm(Wb)の磁極が距離rの点に作る磁束密度は、m/(4πr^2)になりませんでしょうか？

そもそも「点電流」などというものが定義できないので、「電流を元に定義する磁束密度」と「点磁荷」という概念は対応しません。

「電流が作る磁場」と「磁極」のイメージが近いものとして、電流 I の流れる有限の長さのｎ回巻きソレノイドを考えると、そのソレノイドが空間に作る磁束密度は、
　B = μnI
となって、同じ長さの「磁荷 nI」の棒磁石を置いたものと同等になります。

この回答へのお礼

再度ありがとうございます。
> 「磁荷nI」の棒磁石

の部分がどうもまだ分かりません。nIの単位はA/m、磁荷の単位はWb(=Nm/A)ではないでしょうか？(nは「単位長さ辺りの巻数」と解釈させて頂いております。)

たびたび、申し訳ありません。

お礼日時：2019/06/13 23:14

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/14 00:51

有限長ソレノイドは真ん中あたりの磁束密度はB=μnI

だけど、これはソレノイドの断面積をSとすると
とても大雑把にソレノイドの端がBSの磁極(磁荷)で有るように見える。
もっとも、ソレノイドの端っこの方磁場の形は
仮想的に考えた点状の磁荷とは似てないけどね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
それですと、BSの単位がWbになり、合点がいきます。大雑把に仮想した磁極の強さはμnISとなり、当初のお礼に記載させて頂いたこと(mは透磁率込みの値)とも平仄が合うと思います。
同じ磁極(同一物)の磁荷は固有の値と思い込んでいたのが誤解の元(正しくは周囲の透磁率に比して変化する)なのですね。
おかげさまでよく分かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2019/06/14 09:41

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/14 10:50

No.3です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞「磁荷nI」の棒磁石
＞の部分がどうもまだ分かりません。


「周囲に作る磁場の形状が似たもの」として例に挙げたものです。

↓　ソレノイドの作る磁場
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/p/elec/ryuuj …

↓　棒磁石が作る磁場
https://physnotes.jp/em/mag-gauss-law/

ソレノイドの作る磁場の大きさ（磁束密度）は「電流」と「透磁率」に比例しますが、
棒磁石の作る磁場の大きさ（単位面積当たりの磁力線の本数）は、「磁石の強さ」だけで決まり、空間の性質（透磁率）には関係しません。
形状は似ているが、「大きさ」の考え方が全く異なることを示したかったのです。


＞同じ長さの「磁荷 nI」の棒磁石を置いたものと同等

というのは確かに間違いでした。言うならば
「同じ長さの「μnI」の強さに相当する棒磁石」
というべきだったですね。
しかも、#4 さんのご指摘のとおり「単位面積当たり「μnI」の強さに相当する棒磁石」と言わないといけませんね。

「その空間（透磁率 μ）に、電流 I、巻き線密度 n のソレノイドが作る磁場と同じ形状・大きさの磁場を作るためには、同じ長さの「単位面積当たり μnI」の強さに相当する棒磁石を置けばよい」

という感じです。

このように、「電流が作る磁場」や「磁場に働く力」を基準にして、そこから「それに相当する磁石の強さ」「磁力の大きさ」を決めると、必然的に「透磁率」を含んだものになります。従って、「空間の磁場の大きさ」の単位である「テスラ：T」「Wb/m^2」は「透磁率」を含んだものとしてその値が定義されます。
なので、そこから「磁荷」の大きさ（これも単位は「Wb」）を定義するときには、「透磁率で割る」というような「換算」が必要になります。「単位の変換」ではなく、「基準とする大きさの違いによる数値の換算」です。

この回答へのお礼

ご丁寧な解説どうもありがとうござます。

お礼日時：2019/06/14 21:22

No.6 回答者： d9win 回答日時： 2019/06/14 19:32

電磁気学には歴史的に色々な単位系があって、現在ではMKSA系あるいはそれに幾つかの単位を加えたSI系が使われています。

ところが、このMKSA系の中でも磁荷(あなたの言う各磁極の磁気量)の扱い方の違いでE-B対応とE-H対応があります。E-H対応は電荷のクーロンの法則と同じ法則が磁荷についても成り立っているとする立場です。ところが磁荷は実際に存在しないので、現在では磁場は電流によって生じるとするE-B対応の教科書が主流です。それでも、E-H対応で考えた方が簡単な場合が多くあるため、E-H対応も未だ使われています。

もっとも、どちらの系でも、磁荷mを直接扱わない限り、(真空中では) B = μ Hの関係は同じです。
電子の運動(電流)に対して働く力であるローレンツ力は磁荷mを直接含まないので、F = q v BともF = q v (μ H)とも表すことができます。E-B系では磁気力に関するクーロンの法則は本来考えないのですが、敢えて表せば F = (μ/4π)m1m2/r^2 とμは分母でなく分子に付きます。そして、その際にはE-B系に変換した磁荷mを用いねばなりません。E-B系の磁荷m_bは(真空中(μ= μ_0)では)E-H系の磁荷m_hの約80万倍になります(m_b = m_h / μ_0 = m_h /(4πx10^-7) ≈ 8x10^5 m_h)。その結果、どちら対応のクーロン力も同じ値になります。

結局、ローレンツ力とクーロン力は別の現象で現れる力として考えねばならないのだと思います。例えば直線電流Iからr離れた位置の磁場はH = I / 2πrと表されるので、電流が変わらない場合、ローレンツ力(F = q v μ H)は透磁率μと共に増加します。一方、磁荷m1と磁荷m2が実際に存在したとすれば(E-H対応)、それら間のクーロン力は透磁率μが増えると小さくなります。しかしながら、磁荷は実際に存在しないので問題にすることもないのでしょう。

ちなみに、誘電率εは物質ごとに様々な値を有しますが、鉄やニッケル, コバルトの透磁率μは桁違いに大きいですが、それ以外の元素や物質のμは真空とほとんど変わりません。ただ、FeやNi, Coが混ざった合金や化合物では大きいものがあって、磁石として使われています。ただし、透磁率μの大きさは磁石の強力さに直接関係しません。磁石の種類にもいろいろあって、最も強力な磁石のネジウム磁石の透磁率μは真空の1.05倍に過ぎません。どうも、磁気現象は電気現象に輪をかけて複雑なようです。

この回答へのお礼

詳しいご説明ありがとうございます。

> 磁荷m1と磁荷m2が実際に存在したとすれば、、クーロン力は透磁率μが増えると小さくなる。
についてですが、確かにm1, m2の値を固定すれば式よりそうなりますが、ある特定の磁極(架空のものです)があったとした場合、μが大きくなるに従いm1とm2の値も比例して大きくなるので結果としてクーロン力はμ倍になる、という考え方は誤りでしょうか？

>透磁率μの大きさは磁石の強力さに直接関係しません。

についてですが、これに先立つお話は電磁場の透磁率で、ここでは磁石そのものの透磁率ですので比較の対象が異なるように思えるのですが、いかがでしょうか？電磁場の透磁率が大きくなれば、やはり磁石の強力さは大きくなると思うのですがいかがでしょうか？

お礼日時：2019/06/14 21:21

No.7 回答者： d9win 回答日時： 2019/06/15 10:10

私は磁石についての専門家ではありませんが、興味深いテーマですのでにわか勉強の結果を書かせてもらいます。

ご自身の考察の参考にして下さい。

まず、最初の質問ですが、電荷の値はその周囲環境によって変わることはありません。磁荷の存在を想定しているE-H対応の磁荷も周囲環境によって変わらない独立した値です。"μが大きくなるに従いm1とm2の値も比例して大きくなる"ことはないと考えます。

２つ目の質問については、"電磁場の透磁率"という意味がよく判りません。
透磁率は"外部磁場の方向への磁気双極子の向きやすさの程度、追従の度合いを表す値"で、ある環境(物体)中での特性を示すものです。

さて、全ての電子は電荷だけでなく+1/2か-1/2のスピンを有してます。それは、スピンという名前が示すように回転している状況に例えられることが多いです。電荷を有する回転体は回転方向に応じた磁場を生じますが、電子の+1/2と-1/2のスピン状態は逆向きの点状の磁石と同様の磁場を生じてます。(もっとも、電子は構造を有せず大きさも無いので、電子自体が磁場を有する機構は説明できてません。電荷と同様にスピンの起源も判ってないのです)
ともかく、多くの原子内の電子軌道や特に原子間の結合(すなわち分子)では、+1/2と-1/2のスピンの電子が対になるよう組み合わされて安定な状態になっています。内殻電子群は必ずそういう組み合わせになってます。また、一般に最外殻軌道にある電子は周りの原子中の電子と何らかの結合をしてますが、その際にもスピン対となることが基本です。このため、電子自体に起因する磁場は通常は生じません。ただし、酸素分子O2とか一酸化炭素CO等の一部の結合では、対になり切れない電子が存在してます。そして、それら不対電子群のスピンが互いに相殺し切れない場合には、原子が(電子スピンに起因する)正味の磁場を有することになります。このような分子に外部から磁場が加わると、極微小な磁石と見なし得る原子中の電子のスピン方向も(磁石のN極からS極に向かって並ぶ鉄粉(微小磁石)のように)多数の微小磁石群が整列した状況に揃おうとします。これら磁石群の作る磁場は外部磁場と同じ方向を向こうとするので磁場は強まります。これが透磁率μが(真空よりも)僅かに大きくなった状況で、常磁性特性と呼ばれてます。透磁率μの増え方が僅かであるのは、スピンが揃おうとする性向を原子の乱雑な熱運動が妨げる為です。このような常磁性の物質は磁石になり得ません。

さて、鉄やニッケル等の遷移金属元素では、内殻が埋まり切る前にその外側の(最外殻)軌道に電子が存在してます。すると、内殻電子は周囲の原子と結合しないので、スピン対を作ってない電子(不対電子)も複数存在し得ます。遷移金属群やそれに特性の似た希土類金属群のほとんどがこのような元素で、通常は常磁性を示します。ところが、鉄, コバルト, ニッケルだけは透磁率μの増え方が異常に大きくて、鉄は数千〜数万倍、コバルトとニッケルは数百倍になります。これが強磁性です。強磁性は、隣接する不対電子の間で(鉄, コバルト, ニッケルだけで起こる)特別な相互作用が働いていることが予想されます。

しかしながら、純粋な鉄は電磁石には使えますが、永久磁石にはなりません。外部磁場を取り去ると鉄からの磁場の発生はなくなるからです。このように、透磁率μはあくまで外部磁場に対する発生磁場の比例係数です。
ところが鉄に大量の炭素を混ぜると、外部磁場を取り去った後にも磁場が保持されたままになります。これは、鉄の結晶の不純物である炭素が、外部磁場の方向に揃った電子スピンが元に戻ることを妨げている為です。ネオジム磁石(Nd2Fe12B)やサマリウム磁石(SmCo5)等の希土類磁石は、ネオジムNdやサマリウムSmの希土類金属だけでなく鉄FeやコバルトCoの強磁性元素を含んでいます。物体中の電子スピンの密度は甚大ですので、外部磁場を取り去った後のスピンの整列の復帰が強く制限されるならば、(外部磁場による一時的な)スピンが整列がある程度であっても(すなわち、透磁率μが特に大きくなくとも)、強力な磁石になり得るのであろうと、私は考えました。

この回答へのお礼

詳しいご説明ありがとうございます。

まず2つ目の質問のについてですが、磁場のクーロンの法則に出てくるμは磁荷が置かれた空間(これを電磁場と呼びました)の透磁率と理解していますが、磁荷をもたらす物体の透磁率ということですか？

１つ目の質問については、改めて補足に記載させて頂きこうと思います。

お礼日時：2019/06/15 11:28

No.8 回答者： d9win 回答日時： 2019/06/15 13:00

#7回答への質問: はい、磁場のクーロンの法則に出てくるμは磁荷が置かれた空間の透磁率です。

磁荷は、電荷がそうであるように構造を持ちません。したがって、それに透磁率μを考えることは無意味です。

補足コメントについて:
(A) 磁荷mは物体の固定値で、その環境によって変わりません。#6回答のm_b = m_h / μの関係は、単位系の取り方(換算方法)で変わったものです。(この時のμも環境空間の透磁率です)

(B) 言われることを把握しきれてないのかもしれませんが、物質固有の「磁場の素」はm/μではなく、E-H対応の場合は「磁荷mそのもの」で、E-B対応の場合は「閉回路に存在する電流」です。

あなたの理解は、私の言わんとしていることと何か根本的にズレている感じがします。

この回答へのお礼

早速ありがとうござます。

#7回答への質問: はい、磁場のクーロンの法則に出てくるμは磁荷が置かれた空間の透磁率です。
磁荷は、電荷がそうであるように構造を持ちません。したがって、それに透磁率μを考えることは無意味です。

> (A) 磁荷mは物体の固定値で、その環境によって変わりません。#6回答のm_b = m_h / μの関係は、単位系の取り方(換算方法)で変わったものです。(この時のμも環境空間の透磁率です)。

μが環境によって変化する値で、m_b = m_h / μという関係があるならば、m_b とm_hの少なくともどちらかは環境によって変化する値でないと辻褄が合わないと思うのですが、いかがでしょうか？

お礼日時：2019/06/15 13:20

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/15 13:10

>②より磁荷mの作る全磁束はm・・・・・③

マックスウェルの方程式は
任意の閉曲面を通過する磁束の総和は0と明確にのべてます。
全磁束mなんて有り得ないのです。
つまり磁荷のクーロンの法則にあるような
ー点から磁場が放射状に拡がる
シチュエーションは現実には存在しません。
存在しないものの性質をあれこれ考えても虚しいだけですよ。

Wbは磁束の単位とだけ考えるのがよろしいかと。

この回答へのお礼

ありがとうござます。

高校の教科書の磁場の章が磁荷のクーロンの法則から始まるので仕方がないのです。

お礼日時：2019/06/15 13:30

No.10 回答者： d9win 回答日時： 2019/06/15 13:43

説明が足りませんでした。

磁荷が固定値であるのはE-H対応の単位系に限られます。
そもそも、E-B対応では磁荷は存在しないと見なしており、その立場の書物ではクーロン力の式も出て来ないはずです。分子にμが現れる式は、無理やりE-H対応のクーロン力と辻褄を合わせようとした時の式であり、その際には磁荷はm/μと考えねばならないと言うことで、これらの式や磁荷m/μには実質的な意味はありません。#9回答にあるように無視して然るべきだと思います。

この回答へのお礼

ご説明ありがとうござます。

・E-H対応
→ 磁荷は固有の値

・E-B対応
→ 磁荷の存在をそもそも前提としないので考えることに意味がない

・F = 1/(4πμ)(m1m2)/r^2
→ E-H対応での式であり、これより空間の透磁率が大きい程磁極間の力は小さくなると言える。E-B対応では磁極を前提としないので、この考え方自体が存在しない。

という、理解でよろしいでしょうか？

高校の教科書の電磁気の章が磁極間のクーロン力の式から始まるので、それを考えざるを得ないのです。

お礼日時：2019/06/15 14:27