No.4ベストアンサー
- 回答日時:
方程式が1つあれば、2つの変数の内、1つが分かればもう一つが出せます。
1つ目の式は、tとvの2つの変数の内、tが分かればvが求められます。3つ目の式は、tではなくてyが分かっている時、vが求められます。
さて、物理の問題(重力加速度関連)でvを求める時、tが与えられていれば1つ目の式だけを知っていれば代入するだけです。では、yだけが与えられて、1つ目の式(と2つ目の式)だけを知っている時は???? 直ぐに代入するだけでは求められませんよね。勿論、その場で、1つ目と2つ目の式から3つ目の式を出す変形(導出)をして、さらにyを代入すると求められはしますが、時間の無駄ですし、変形を思いつけるとも限りません。
ですから、便利な公式は最初から覚えておけばいい、って話です。
No.5
- 回答日時:
((g:重力加速度)
高い場所で、時刻t=0において、持っていた物体から静かに手を離した(初速度Vo=0)場合・・・自由落下の場合
時刻tにおける物体の降下距離(位置)をy,速度をvとするとき)
第一式を変形したt=v/gをy=1/2gt^2に代入。整理するとv^2=2gyですが
意味は、
(自由落下では)
V²(時刻tにおける物体の速度の2乗)は物体の位置(降下距離)yに比例する、
または物体の位置(降下距離)yはV²(物体の速度の2乗)に比例するということです。
言い換えれば、y=(1/2g)v²=av²…①ですから (ただし、1/2g=a)
yはvの2次関数 という意味にもなります
(参考、y=ax²は数学1で習う2次関数!
式①は、この式で文字をxからVに変えただけなので、文字種が違うだけで扱い方は全く同じです)
No.3
- 回答日時:
vとaの定義として
dy=vdt ①
dv=adt ②
というものがあります。
(時間tがちょっとたつとyがちょっと増える、その割合がvというのが①で速度の定義、①のyをvに変えたものが②で加速度の定義)
そして①と②からdtを消去した式が
ady=vdv ③
です!
a=g(定数)としたときに
②をtについて積分したものが(t=0のときv=0として、②よりtが増えるにつれて一定の割合gでvが増えることが分かっています)
v=gt
①より、
dy=(gt)dt ①'
これをtについて積分したものが
y=gt²/2
最後に③をyに関して積分したものが
v²/2=gy
です!
この最後の式は両辺に質量mをかけるとおなじみの力学的エネルギー保存の関係が見えてきます!
No.2
- 回答日時:
うーん、公式の何たるか、教科書読みましたか?結論だけみて、意味を問うても、それこそ無意味です。
何がわからないかをちゃんと書きましょう。v=gt
これは、重力加速度という言葉でわかるとり、gは、地球の重力が及ぼす加速度ですから、時間をかければ、速度が出るのは、加速度の定義です。
(なぜ加速度がgと一定になるかは、万有引力から誘導することができるので、興味があれば別の質問を)
y=1/2gt^2
は、速度を積分して得られるものですね。小学生で習う、距離=速さ*時間 のようなものですが、速さが一定ではなく、一定の加速度で増える場合は、こうなるんだ・・・
と覚えるしかありません。この場合は、加速度がgになるだけのことです。
覚えて、問題を解いていくうちに、小学生の速さの問題と同じように感覚がわかってくるので、あとで、本質的な意味を理解することを勧めます。
最後は、単に式を変形しただけ。上2つの公式から、簡単に導くことができます。
No.1
- 回答日時:
「変位は、速度を積分したもの」で分かればよいのですが。
ここで扱っているのは「等加速度運動」なので、加速度は一定です。
「等加速度」とは「速度が単位時間に一定値ずつ増えていく」ということなので、加速度が g (一定) なら
v(t) = v0 + g・t (v0 は初速度。静かに手を離した自由落下なら v0=0) ①
になるのは分かりますね?
ここでは v0=0 で話を進めます。
従って、ある時間 t1 の速度は
v(t1) = g・t1
時間 t2 の速度は(t1 < t2 とします)
v(t2) = g・t2
この間の平均速度 Vav は
Vav = (v1 + v2)/2 = g・(t1 + t2)/2
この平均速度で (t2 - t1) の時間に進む距離は
y12 = Vav・(t2 - t1) = g・(t1 + t2)(t2 - t1)/2 = (1/2)g・[(t2)^2 - (t1)^2]
になります。
これは
・t=0~t1 の間に進む距離:y1 = (1/2)g・(t1)^2
・t=0~t2 の間に進む距離:y2 = (1/2)g・(t2)^2
・t=t1~t2 の間に進む距離:y12 = y2 - y1 = (1/2)g・[(t2)^2 - (t1)^2]
ということです。
「その区間の平均速度」という意味で「1/2」が出てきて、
y = (1/2)g・t^2 ②
ということになります。
この式は「変位 y は時間の2乗で変化する」という物理的な意味を示す式です。ここに「時間の2乗」という関係が出てきます。
これに①の
v = g・t
から
t = v/g
を代入すると
y = (1/2)g・(v/g)^2 = (1/2)v^2 /g
となりますが、これは単に「式を変形した」というだけで、物理的な意味はありません。
「積分」が使えない高校生向けの「単なる意味のない公式」ということです。
つまり、質問文に挙げられた3つの式のうち、「上の2つ」は物理的に意味のある式で、「公式」として覚えてください。(積分が分かるようになれば、暗記しなくとも自動的に導出できます)
3つ目の「v^2=2gy」は物理的な意味はありませんが、高校物理では問題を早く解くために役立つことがあります。上の2つの式から導けますので、特に暗記する必要はないと思いますが、使えるようにしておくと時間が稼げます。
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