lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ} lim[dθ→—0]

lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
lim[dθ→+0]{cos(θ—dθ)-(cosθ)}/{(θ—dθ)-θ}
lim[dθ→—0]{cos(θ—dθ)-(cosθ)}/{(θ—dθ)-θ}
の
lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ} に関して
同じ-sinθになるのでしょうか？
ですが、
lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}はわかりますが、
lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
はdθが0に違い負の値になるので前者の式とは違うように思えます。
0に近い負の値ではなく0なのでしょうか？
それとも式が間違っているのでしょうか？

lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ} ではなく、
lim[dθ→-0]{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}が正しいという事でしょうか？

どうかよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 皆さまありがとうございます。
  あのlim[dθ→+0]{cos(θ—dθ)-(cosθ)}/{(θ—dθ)-θ}に関してだけ、
  どうしてもlim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}と出来ないのですが、やり方を教えてください。

    補足日時：2019/07/03 08:34

• syotao様に聞きたいのですが、式は同じにはならないが、導ける結果は同じという事でしょうか？

    補足日時：2019/07/03 10:11

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/02 14:06

lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}　←[1]

lim[dθ→-0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}　←[2]
lim[dθ→+0]{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}　←[3]
lim[dθ→-0]{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}　←[4]

[1]と[4]、[2]と[3]は、それぞれ全く同じ式です。
[1]と[2]の dθ を h で、[3]と[4]の dθ を -h で置換してみれば判るでしょう。
[1]と[2]の結果が同じになることには、証明が必要ですが、
やってみれば、同じ -sinθ になります。
[1]と[2]の共通の値が、(d/dθ)cosθ の定義です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
dθをhと置き換える場合とdθを-hと置き換える場合があるわけでしょうか？

お礼日時：2019/07/03 01:05

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/02 12:58

電卓に dθ=0.0001 くらいで計算してみましょう。

あなたの奇妙な予想は現実では無いことは
すぐわかります。

妄想は早々にやめて、現実に帰還しましょう。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/07/02 12:46

>lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}はわかりますが、

lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
はdθが0に違い負の値になるので前者の式とは違うように思えます。

別にあなたの主観がどうであろうが真理は変わらない。
あなたは感性で数学をやっているのですか?
それならあなたに数学をする資格はない。すぐにやめなさい。

lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
と
lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
は別の式です。ただ、式自体は同じ関数(-sinθ)に収束します。
この二つの式が同じ関数に収束する、それがcosθがいたるところで微分可能であるということです。

>lim[dθ→—0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ} ではなく、
lim[dθ→-0]{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}が正しいという事でしょうか

この二つの式がやっていることは全く同じこと。全く同じ式。だから何?
意味がない。
この二つの式はまったく同じことをやっているだけで一致するのは当たり前。でも意味はない。
この式一致するのは当たり前。だって同じ式なのだから。
この式が一致しても微分可能とは言えない。なぜなら一方向からの微分可能性を調べているからにすぎないから。