明日提出なので数学の問題を教えてください！お願いします！ s=x+y,t=xyとおく (1) x,

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質問者：桜綾
質問日時：2019/07/07 20:21
回答数：2件

明日提出なので数学の問題を教えてください！
お願いします！

s=x+y,t=xyとおく

(1) x,yが実数を動くとき、点(s,t)の存在範囲を求めよ。

(2)実数x,yが(x-y)^2+x^2y^2=4を満たしながら変化するとする。
(ア)点(s,t)を描く図形をst平面上に図示せよ
(イ)(1-x)(1-y)のとりうる値の範囲を求めよ

お願いします！

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回答 (2件)

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No.2

回答者：ありものがたり
回答日時：2019/07/07 20:49

(1)

s=x+y, t=xy となるような x,y は、解と係数の関係から
二次方程式 z^2-sz+t=0 の解 z=x,y です。
x,y が実数となる条件は、二次方程式が実数解を持つ条件
s^2-4t≧0 であると判ります。
x=y でもよいので、不等号は等号つきのやつです。

(2)
(ア)
x,y に ((x+y)^2-4xy)+(xy)^2=4 の関係があるのなら、
s,t の関係は (s^2-4t)+t^2=4 です。
変形して s^2+(t-2)^2=8 と書いたほうが見易いでしょう。
図示するとき、この円周のうち
(1)を満たす部分だけが (s,t) の軌跡であることを忘れずに。

(イ)
(1-x)(1-y)=f は、f=1-s+t と書けます。これは st 平面上で
直線 t=s+(f-1) を表す式ですね。
(s,t) が(ア)の範囲を動くとき、その (s,t) を通る t=s+(f-1) は
どんな範囲を動くかを考えましょう。
f-1 の最小値,最大値に対応する (s,t) が
図から見つかると思います。