斜面を登る回転運動

次の問題についてアドバイスをください！
水平面上を半径R,質量mの円盤を質量中心の初速度v0で転がし、その後斜面を登っていく運動を考える。円盤は滑らずなめらかに転がるものとし、重力加速度g、空気抵抗は考えない。

・速度が0になるときの円盤中心の高さhを求める。

角度や摩擦係数が与えられていないので、力学的エネルギー保存則から解こうと考えたのですが、斜面下と高さhでのエネルギーの考え方がいまいちピンとこないです。
斜面下では、初速のv0による並進運動と回転運動のエネルギーの和のみで位置エネルギーはなし、
高さhの時点で速度停止から、位置エネルギーのmghのみと考えたのですが、あってますか？
並進運動と回転運動のエネルギーの和と考えはしたものの、片方のみでいいのではないか。などと考えてしまいます。
よろしくおねがいします!

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/07/15 09:00

剛体を沢山の質点の集合と考えると

その運動エネルギーTは
T=Σ(1/2)mivi^2 ①
#但し、mi 個々の質点の質量、vi 個々の質点の速度、iは質点に付けた番号
#Σは全ての質点で総和をとることを表わす。

ここで重心の速度=vgとすると
vg=(∑mivi)/(∑mi)
vi=vg+v'i
とすると
vg=(∑mi(vg+v'i))/(Σmi)=vg+∑miv'i
→∑miv'i/(Σmi)=0→∑miv'i=0

T=∑(1/2)mi(vg+v'i)^2
=(1/2)(Σmi)vg^2 + vgΣmiv'i + (1/2)v'i^2 +(1/2)Σmiv'i^2

総質量=Σmi=M とし、先に求めたΣmiv'i=0を使うと
T=(1/2)Mvg^2 + (1/2)miv'i^2

第ー項は重さM、速度vgの質点の運動
エネルギーと同等のエネルギーで所謂並進エネルギー。
個々の質点の重心に対する運動を無視したエネルギーです。

、第2項は重心が静止している座標系から見た
各質点のエネルギーの総和で、剛体の場合、各質点は
重心の回りを回る運動しか出来ないので
回転エネルギーになります。

何が言いたいかというと、剛体の運動エネルギーTは、
あくまで単純に式①の表すエネルギーで、それは
数学的に2つのエネルギーの和の形に整理して考えることができる
ということです。
しかし、この2つのエネルギーはそれぞれ剛体の運動エネルギーのー部です。

運動エネルギーはあくまで①
回転コネルギーを削ったらもうそれは
運動エネルギーではありません。

なので

>並進運動と回転運動のエネルギーの和と考えはしたものの、
>片方のみでいいのではないか。などと考えてしまいます。

等と考えてはいけないのです。エネルギー保存は全てのエネルギーの
総和が対象である単純な法則です。

この回答へのお礼

原理的なところからのアプローチしていただいてありがとうございます。とても腑に落ちたと言った感じです

お礼日時：2019/07/18 09:21

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/10 09:32

No.1です。

中身は分かるのですか？

初速度での並進運動のエネルギーは
　Ek = (1/2)m(v0)^2

「半径R、質量m の円盤」の慣性モーメントは
　I = (1/2)mR^2
で、角速度は
　ω = v0/R
ですから、回転運動のエネルギーは
　Er = (1/2)Iω^2 = (1/4)m(v0)^2

この和が、高さ h の位置エネルギーに等しいので
　mgh = Ek + Er = (3/4)m(v0)^2
→　h = (3/4)(v0)^2 /g

この回答へのお礼

簡潔な解答例ありがとうございます。とても見やすいです

お礼日時：2019/07/18 09:20

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/07/10 00:04

＞斜面下では、初速のv0による並進運動と回転運動のエネルギーの和のみで位置エネルギーはなし、

＞高さhの時点で速度停止から、位置エネルギーのmghのみと考えたのですが、あってますか？

はい、合っています。

＞並進運動と回転運動のエネルギーの和と考えはしたものの、片方のみでいいのではないか。などと考えてしまいます。

どうしてですか？　対象としない方のエネルギーはどこに行くのですか？

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
この円盤は回転に加えて移動しているから、和でなくてはならないと解釈しました。

お礼日時：2019/07/18 09:19