数学です。 数三の部分積分は微分側と積分側どちらも計算可能な場合、入れ替えても答えは合いますか？

数学です。
数三の部分積分は微分側と積分側どちらも計算可能な場合、入れ替えても答えは合いますか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/07 02:11

計算を間違えなければ同じ答えになります.

ただし, 「実は同じだけど見た目が違う」答えが出るという可能性はあるかも.

No.2 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/09/07 08:45

部分積分法は、微分の公式

(ｆ(x)g(x))’=ｆ’(x)g(x)+ｆ(x)g(x)’　から出来ています。
両辺を積分すると
ｆ(x)g(x)＝∫ｆ’(x)g(x)ｄｘ＋∫ｆ(x)g’(x)ｄｘ
∫ｆ’(x)g(x)ｄｘ＝ｆ(x)g(x)ー∫ｆ(x)g’(x)ｄｘ・・・①
∫ｆ(x)g’(x)ｄｘ＝ｆ(x)g(x)ー∫ｆ’(x)g(x)ｄｘ・・・②
となります。
∫ｆ’(x)g(x)ｄｘ＝∫ｆ(x)g’(x)ｄｘと仮定すると
ｆ(x)g(x)ー∫ｆ(x)g’(x)ｄｘ＝ｆ(x)g(x)ー∫ｆ’(x)g(x)ｄｘ
∫ｆ(x)g’(x)ｄｘ＝∫ｆ’(x)g(x)ｄｘ
と矛盾なしで、①と②は同じになります。

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2019/09/07 08:54

例) I=∫2sinθcosθdθ

i> sin を積分
I=2(-cosθ)cosθ-2∫(-cosθ)(-sinθ)dθ
=-2cos²θ-I
2I=-2cos²θ+C₁
I=-cos²θ+C

ii> cos を積分
I=2sinθsinθ-2∫cosθsinθdθ
=2sin²-I
2I=2sin²θ+C₂
I=sin²θ+C

iii> 部分積分を用いない
I=∫sin2θdθ
=-1/2 cos2θ+C

あらら、3通りの答え出てきちゃったよ!
でもよく見ると C は任意の値なんだから同じなんだよね。