a、b、cを定数とする。x+y+z=1、3x+y+4z=2を満たすx、y、zに対して、ax²+by²

a、b、cを定数とする。x+y+z=1、3x+y+4z=2を満たすx、y、zに対して、ax²+by²+cz²=1が常に成立する時、a、b、cの値は何か？

解説お願いします!!

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/10/04 14:53

x + y + z = 1　　　　①

3x + y + 4z = 2　　　②

y を消去するために ① - ② で
　-2x - 3z = -1
→　z = (1 - 2x)/3

同様に z を消去するために ①*4 - ② で
　x + 3y = 2
→　y = (2 - x)/3

これを ax²+by²+cz²=1 に代入して x だけの式にすれば
　ax^2 + b[(2 - x)/3]^2 + c[(1 - 2x)/3]^2 = 1
→　(9a + b + 4c)x^2 - 4(b + c)x + 4b + c - 9 = 0

これが任意の x に対して恒等的に成り立つためには
　9a + b + 4c = 0
　b + c = 0
　4b + c - 9 = 0
が同時に成り立つ必要がある。

これを解けば
　a = 1
　b = 3
　c = -3

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/10/04 14:44

x+y+z=1…①、3x+y+4z=2…②

①-②より
-2x-3z=-1
z=(1-2x)/3

①x4-②より
x+3y=2
y=(2-x)/3

これらをax²+by²+cz²=1へ代入
すると、xの2次式となる
得られたxの2次式が常に成立するなら、言い換えればxの恒等式だから、
恒等式となるようにa,b,cを決定する。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました!!

お礼日時：2019/10/04 16:46

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/10/04 14:19

条件式２つから　

ax²+by²+cz²=1をxだけの式に直して恒等式にすればよいのでは

この回答へのお礼

ありがとうございます
参考になりました！

お礼日時：2019/10/04 16:45