数学A。整数の応用問題です。 '2次関数f(x)=ax^2+bx+cについて、すべての整数nに対して

数学A。整数の応用問題です。

'2次関数f(x)=ax^2+bx+cについて、すべての整数nに対して、f(n)が整数値をとるためのa.b.cの必要十分条件を答えよ’

という問題があるのですが、何を聞かれてるのか全く分かりません。

分かりやすく教えていただけませんか。

No.1 ベストアンサー 回答者： banzaiA 回答日時： 2017/11/25 20:53

＞2次関数f(x)=ax^2+bx+cについて、すべての整数nに対して、f(n)が整数値をとるためのa.b.cの必要十分条件を答えよ’

実数ではなくて、整数ですか？

No.4 回答者： springside 回答日時： 2017/11/25 22:34

問題自体が判らない？

要するに、xに1を代入したf(1)=a+b+cも、xに2を代入したf(2)=4a+2b+cも、xに3を代入したf(3)=9a+3b+cも、
とにかく何でもかんでも、xに整数を代入したf(n)=an²+bn+cが、nの値に関わらず必ず整数になるためには、a,b,cは
どのような条件を満たさなければならないか？　を問われている。

で、No.3さんの解答は、以下の部分が間違っている。

>>f(2)=4a+2b+c =2a+2(a+b)+c
>>で a+b, c とも整数だから aは整数。

正しくは、

f(2)=4a+2b+c =2a+2(a+b)+c
で a+b, c とも整数だから 2aは整数。つまり、aは1/2の整数倍である。

この辺も解決した含めた正答は、以下のページ

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

No.3 回答者： さすらいの桃太郎 回答日時： 2017/11/25 21:31

私も素人ですが、まずn が0, 1, 2 の場合を調べて必要条件を検討します。

f(0)=c より c は整数
f(1)=a+b+c で cが整数だから a+b は整数
f(2)=4a+2b+c =2a+2(a+b)+c
で a+b, c とも整数だから aは整数。よって bも整数。
ここまでで a, b, c 共に整数が必要条件
逆にこの条件を満たせば、すべての整数 nに対してf(n) が整数値をとることは明らか。よってこれが必要十分条件である

No.2 回答者： jyuguritto 回答日時： 2017/11/25 21:03

多分f(n)の解が整数になることだと思います。

一般解は -b/2±√(b²-4ac)/2
b²-4ac≧0......①
b/2=n
b=2n.......偶数　②
①と②の条件を満たす。

素人の見解です。参考まで。