デデキント環RのイデアルA≠(0)による剰余環は単項イデアル環であることを用いてデデキント環の任意の

デデキント環RのイデアルA≠(0)による剰余環は単項イデアル環であることを用いてデデキント環の任意のイデアルは2つの元で生成されることを示してください。

わかっている人にしか分からないような一二行の解答ではなく、しっかりとわかりやすい回答をお願いします。またこの証明が載っている本をご存知でしたらそちらを教えて頂けると幸いです。

質問者からの補足コメント

• 証明として途中まではできていて
  
  A=p_1^(e_1).....p_n^(e_n)
  
  と素イデアル分解されるとして
  
  
  R/A=R/p_1^(e_1)×......×R/p_n^(e_n)
  
  (=は同型、×は直積を表します。)
  
  となることがわかりました。
  
  ここでAが単項イデアルでないならば任意のAの元aについてR/Aが単項イデアル環であることからA/(a)は単項イデアルになります。A/(a)の生成元をbとすると
  
  A/(a)=(b)となりますが、なぜここから
  Aはaとbによって生成されると言えるのかわかりません。

    補足日時：2019/10/30 17:08

No.1 回答者： 確変 回答日時： 2019/10/31 19:26

最近, 私自身も調べることを怠っていたようで, 現在は猛省している.

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

貴方の質問に回答するのは, たぶんこれが最後なので, 今回は少し詳しく書く.
私は複数の Q&A サイトで同一の質問をすることに反対なので, ややきつい口調になるかもしれない.

>証明として途中まではできていて
御冗談でしょう.
何ひとつ, できていないよ.

>A=p_1^(e_1).....p_n^(e_n)
>と素イデアル分解されるとして
>R/A=R/p_1^(e_1)×......×R/p_n^(e_n)
>(=は同型、×は直積を表します。)
>となることがわかりました。
こんなこと, もう必要ない.
デデキント環の非零イデアルによる剰余環が, 単項イデアル環であることを使っていいなら, これは用済み.

>ここでAが単項イデアルでないならば任意のAの元aについてR/Aが単項イデアル環であることからA/(a)は単項イデアルになります。
何を言っているのか, さっぱり解らない.
もしかして, A/(a) が剰余環 R/A のイデアルだと思っているのか.
だとしたら, 環論の入門から学びなおすべき.

A がデデキント環 R の非零イデアルなら, a ∈ A で a ≠ 0 を満たすものが存在する.
このとき, R/(a) は単項イデアル環なので, そのイデアル A/(a) は単項イデアルである.
以後, 任意の r ∈ R に対して, r + (a) ∈ R/(a) を [r] と書く.
x を A の任意の元, [b] を A/(a) の生成元とすると,
ある r ∈ R に対して [x] = [r][b] であり, x - rb ∈ (a) が成り立つ.
よって, ある s ∈ R に対して x = sa + rb ∈ (a) + (b) であり, A ⊂ (a) + (b) がいえる.
他方, A ⊃ (a) + (b) は明らか.