実効値電圧

実効値で５Ｖを出力している交流電源と、
実効値で１０Ｖを出力している交流電源を
直列に接続すると電圧は実効値で何Ｖになりますか？
（電圧計に流れる電流など細かい条件は理想状態とします）

質問者からの補足コメント

• 皆さんに誤解を与えてしまったようで、お詫びします。
  説明不足と思われる部分について加筆しておきますのでご理解のうえ回答いただければ幸甚です。
  
  ２つの交流電源の周波数、位相、波形には特定の関連がない状況で直列にした場合の電圧をお尋ねしています。
  波形、周波数が同じで同位相では単純に加えて15V。逆位相なら差の5V　でしょう。
  では、２つの交流電源の間に周波数も位相も波形も関連がない場合はどうなるのでしょうか？
  
  「条件は理想状態」というのはこれ以外の条件は考えなくてよい、との意味です。条件がないと解けない、ということであれば適宜に付加してください。

    補足日時：2019/11/02 15:01

No.11 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/11/02 16:31

位相相関がないなら

√(5^2+10^2)=√(125)=5√(5)≒11.18 V


2つの信号A(t)とB(t)の和の2乗平均は、Tを充分に大きな時間間隔として
(1/T)∫[0→T](A+B)^2dt
=(1/T)∫[0→T]A^2dt +(1/T)∫[0→T]B^2dt +(1/T)∫[0→T]2ABdt

第3項は、AとBが交流で、位相関係がランダムに動く場合0になるので

A+Bの2乗平均=Aの2乗平均 + Bの2乗平均

実効値(RMS)=2乗平均の平方根なので
RMS(x)=(1/T)∫[0→T]xdx
とすると
RMS(A+B)=√(RMS(A)^2+RMS(B)^2)

この回答へのお礼

書き込みをありがとうございます。

電力で考えてくださいましたね。
小生もこれに近いことを考えていたのですが、同一周波数・逆位相の場合には打ち消します。これが数式で表した場合どうなるのかがわかりませんでした。
数式の第３項、納得です。そして積分時間は周期が無視できるほど長くする。これも納得。
疑問点のすべてに答えていただけたと思います。ありがとうございました。

#16の書込みも拝見しています。
疑問の発端は複数のマイクで拾った音の合成です。ノイズの計算に近いですね。

お礼日時：2019/11/03 20:30

No.25 回答者： ricardo_ 回答日時： 2019/11/10 11:56

11で無く、1.1です。

11mWをdBmに換算した値となります。

1.1mWをdBmに換算した値となります。

No.24 回答者： ricardo_ 回答日時： 2019/11/10 11:52

＞この質問、そもそもの発端は「0dBmの音声信号と－10dBmの音声信号を一緒にするといくらになるか」です。

0dBmは電力で1mWのことで、600Ω回路に換算すると0.775V(実効値)、－10dBmは0.1mW、同0.245Vになります。

　11mWをdBmに換算した値となります。

　同期か非同期かが重要な要素になります。
　生体に刺激を与えて反応波形を取ります。１回だけだとノイズが多いので何回も繰り返して加算します。
　ｎ回加算すれば目的の信号電圧はｎ倍になります。ノイズ成分の電力もｎ倍になります。
電力がｎ倍なので電圧換算にすると√ｎ倍になります。
　このようにしてｓ／ｎ比を良くする方法が有ります。

　フーリエ変換とかスペクトルアナライザも、同期か非同期かを利用している。

この回答へのお礼

書込みをありがとうございます。#25の書込みも拝見しました。

このような場合は、やはり電力で考えることになりますね。どのように考えたらよいか、だいたいわかってきました。ありがとうございました。
1.1mW は +0.4dBm になりました。

信号を重ねてS/Nを改善する方法。これ知っています。1990年頃某社が家庭用のビデオに搭載していたことがありました。S/Nは改善されましたが動く映像では多重像になりあまり実用的なものではなかったですね。

お礼日時：2019/11/10 18:56

No.23 回答者： air_supply 回答日時： 2019/11/06 11:42

"AM変調では音声信号で594KHzの正弦波の振幅が変化するのではなかったですか？ 混ぜただけでは594KHzの振幅は変化しないはずです。

"
→　変調すると言うことは、594KHz のキャリア(制限は)に音声信号で変調することで、その通りです。これには変調回路が必要で、それを振幅変調と言います。音声に従ってキャリアの振幅がリニアに変化して、検波回路ではそのキャリアを取り除いて音声を復号します。

混ぜただけでは、別々に存在するだけですね。合成しないのであれば、594KHz と 100Hz～2KHz の音声は別々に存在していて、それはお互いに干渉しません。キャリアの　594KHz の振幅は変化しませんし、音声は音声のままです。

このキャリアに 1KHz のサイン波で変調を掛けた場合、その音声出力レベル(振幅)の分だけ 594KHz のキャリアの振幅は変化します。音声の周波数や位相は勿論関係していますが、音声分の出力は高くなったり低くなったりしています。

このように振幅変調回路で考えると、当然変動していますよね。ある瞬間は最高 10V+5V=15V となり、別の瞬間では最低で 10V-5V=5V になり、その間の様々な振幅も存在します。合成しなければ、それらは別々の存在です。

"２つの交流電源の間に周波数も位相も波形も関連がない場合はどうなるのでしょうか？"
→　これがあり得ない条件ではないでしょうか？

この回答へのお礼

再度の書込みをいただきありがとうございます。

AM変調まで説明していただきありがとうございます。でも本論から外れたように思います。貴殿のお話を元に勉強します。すいませんでした。

>　→　これがあり得ない条件ではないでしょうか？
「ありえない」とは？　
「現実には存在しない」ということでしょうか？
音声信号はどうでしょう？　複数のマイクで拾った音は互いに位相も波形も関連はないと思いますが。
この質問、そもそもの発端は「0dBmの音声信号と－10dBmの音声信号を一緒にするといくらになるか」です。
0dBmは電力で1mWのことで、600Ω回路に換算すると0.775V(実効値)、－10dBmは0.1mW、同0.245Vになります。
ちょっと特殊過ぎるように思えたので質問文のようにしました。
一部の方から「交流信号としろ」とご指摘を受けました。そのとおりかもしれませんが、mW（ミリワット）のような微小レベルであろうと電力論のような話であろうと電圧とか電力という考え方は同じと思います。ともかく周波数も位相も無関係な２つの交流の合成です。

質問文のように「5Vと10Vを直列にしたら」でもよいし、上記の「0dBmと－10dBmを一緒にしたら」のどちらでも結構です。
考えて頂ければ嬉しいです。

お礼日時：2019/11/06 18:52

No.22 回答者： ricardo_ 回答日時： 2019/11/05 01:22

次の11番さんの回答になります。

√(5^2+10^2)=√(125)=5√(5)≒11.18 V

１オーム負荷、１Ｖ直流、１Ｖ矩形波で考えて下さい。
電圧が加算されて２Ｖに成ると４Ｗ、電圧が減算されて０Ｖになると０Ｗ。
平均すると２Ｗ。実効値は１．４Ｖ。

　位相が同期していなければ、加算される時と減算される時が有る。
　すると、夫々の電圧を単独で１オーム負荷に繋いだ時の電力の合計と同じになる。
　その電力と負荷抵抗から実効値を求める。

　分かり易いように直流と矩形波で説明しましたが、どんな波形でも同じ。
　同期していなく、加算と減算があると言う事が重要。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

相関関係がない場合はどんな波形でも11.18Vということでよろしいでしょうか（小生もそう思います）。
同じ周波数、波形で同相ならば加算して15V。逆相なら5V。変圧器の二次側を直列にするとこうなりますね。
でもこの３つを並べると頭が混乱します。落ち着いて場合分けせよ、ということでしょうか。

お礼日時：2019/11/06 20:16

No.21 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/11/04 00:58

>RMS(x)=(1/T)∫[0→T]xdx

あ~、これも間違ってる。年ですね(^-^;

RMS(x)=√((1/T)∫[0→T]x^2dt)

この回答へのお礼

何度もありがとうございます。

意味はわかりますので気になさらないでください。

お礼日時：2019/11/06 19:09

No.20 回答者： fba 回答日時： 2019/11/04 00:01

…実効値しかないなら無理。

　周波数と実効値が分かっていて、周波数が互いに素、直流分もそれぞれ0なら実効値の和で出ます。当然ながら実効値だけですけど。波形はフーリエ変換すれば正弦波の高調波の合計になるだけなので、2つの波形の基本波の最小公倍数周期分に満たない部分の実効値の事を語らなければこれでいけます。

　直流分が残っている場合は、ぞれぞれの直流分の符号を考慮した和＋交流分の実効値の和ですね。

　周波数が整数比になっている場合は、更に位相情報が必要です。100:1とかだったら考慮するほどの影響はない筈ですが。

　直流分を除去した状態の話でしたら、実はAMラジオの波形として皆さんおなじみです。（NHK第1東京だと理想的には594kHzの正弦波に音声波形を足したものを電力増幅してるだけ。）

　交流信号、と書けばたぶん誰も誤解しなかったでしょう。

この回答へのお礼

書込みをありがとうございます。

実効値からは求まらない、ということですね。
直流分は最初から考えていません。ゼロで考えてください。
位相情報が必要なら適宜定義してくださってかまいません。
しかし知りたいのはあくまでも２つの信号の間に周波数も位相も相関関係がない場合の合成値です。

「594kHzの正弦波に音声波形を足したもの」とはどういうことでしょうか？
単に「混ぜただけ」という意味でしょうか？
AM変調では音声信号で594KHzの正弦波の振幅が変化するのではなかったですか？
混ぜただけでは594KHzの振幅は変化しないはずです。

>　交流信号、と書けばたぶん誰も誤解しなかったでしょう。
質問の際にどのように書くか迷いました。
できるだけ簡単なモデルにしたつもりなのですが、却って誤解を生じたようですね。
申し訳なかったです。反省しています。

お礼日時：2019/11/04 21:10

No.19 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/11/03 23:16

>電力で考えてくださいましたね。

いえ、実効値=2乗の平均の平方根=root mean squared=RMS
の定義に沿って計算しているだけです。

実効値(Effective value)は
「抵抗」に、同じ電力を消費させる
直流電圧/電流で、交流の電圧/電流を
代表させよう

というのが元になってますが、負荷が純抵抗
でないとこれは成り立たないので
「電力で考えている」というのは言いすぎでしょう。

この回答へのお礼

何度もありがとうございます。

実効値は回路のインピーダンスがわかれば電力に換算できますから小生にとっては同等のものです。
少なくともこの質問内においては負荷は純抵抗です。小生リアクタンス成分は最初から考えていません。
ともかくできるだけ簡単な回路で考えてください。
簡単過ぎて考え難いのでしたら適当な条件を追加してくださって結構です。

#21の回答も拝見しました。
細かいところまで配慮いただき感謝します。

お礼日時：2019/11/04 21:23

No.18 回答者： isoworld 回答日時： 2019/11/03 18:42

Re: 回答No.6

> 質問では２つの交流電源を直列にしているだけで負荷もありません（厳密には電圧計がある程度）。

負荷電流をまったく流さないのであれば、２つの交流電源はお互いに独立しているようなものですから、故障するわけではなく、次のようになります。すなわち…
両電源の周波数がまったく同一で、位相が逆であれば、直列に接続した場合の全体の電圧は１０Vと５Vが打ち消し合って５Vになるでしょうね。逆にまったく同じ位相なら１５Vになると思われます。

周波数が微妙に違っていると、両者を合わせた電圧計の表示は５Vから１５Vの間を行ったり来たりフラフラ揺らめくと思われます。

周波数が大きく違っていると、電圧計の表示は（２つの交流電源はお互いに独立しているようなものですから）１５Vの表示になるかもね。

この回答へのお礼

書き込みをありがとうございます。

貴兄のお書きになったことは全部理解できます。そのとおりです。
でも、質問の追記や一部の方へのお礼としては書きましたが、周波数も位相も波形も無関係な２つの交流電圧の合成です。条件としてわかっているのは２つの交流電源の実効電圧だけです。この条件で合成電圧がいくらになるのか。計算方法（理論）はないのでしょうか？　近似計算もできないのでしょうか？

お礼日時：2019/11/03 20:13

No.17 回答者： fxq11011 回答日時： 2019/11/03 16:57

＞２つの交流電源の間に周波数も位相も波形も関連がない場合はどうなるのでしょうか？

NO１４さんのような考えが必要です、多分突っ込みの一般論は不可能でしょう。
特定の二つについて、電圧なら電圧の合成波形を導き、その実効値を求めることになりそうです。
以上なら一つの数式でも可能カモしれません。
でも周波数、位相、波形はそれぞれ独立して変わります、それを一つにまとめて、一般化した数式なんてできるのか疑問です。
なお、「できない」のこ言葉は、物理的、機械的に不可能な「できない」と、法律等で禁止、非常に危険なためするべきでない、こんな場合も「できない」と表現されます。
例　赤信号では、車は交差点に進入できない、物理的、機械的には可能ですね、だから信号無視なんてのがあります

この回答へのお礼

何度もお手を煩わせており恐縮です。
「NO１４さんのような考え」とはどういうことでしょう？　２つの信号の瞬時値を加算すれば良いことはわかっています。何度も言いますが周波数も位相も波形も関係がない交流電圧を一緒にしたらどうなるか、というのが質問の主旨です。「相関がない」ということに質問の意味があることはご理解ください。

疑問の発端は、
放送局や録音スタジオでは複数のマイクの音をひとつにまとめますね。その時の合成電圧はどうなるのか、というものです。合成レベルはどう計算したらよいのか、というのが疑問でした。
このような状況はいくつもあると思います。例えばテレビのアンテナ線。１本の同軸ケーブルで多い時には１０以上のチャンネルの電波を伝送しています。合計の電圧（あるいは電力）はいくらなのか？　それを増幅するブースターアンプの出力能力はいくら必要なのか？　１０ｃｈあるなら１ｃｈの場合の１０倍の出力能力があれば良いのか、１０倍というのは電圧で１０倍なのかそれとも電力で１０倍必要なのか。
電話線でも古典的なアナログ電話では音声信号にADSLやISDNの信号を重ねて送っています。
周波数や位相が不定の信号同志を一緒にすることは数多くあると思います。
このような小生の疑問を最も単純と思えるかたちにしたものが今回の質問です。
交流電気のイロハ程度は知っているつもりなのでご立腹なさらずお付き合いいただけませんでしょうか。

お礼日時：2019/11/03 20:01