a ⃗ =(a₁,a₂),b ⃗(b₁,b₂)でa ⃗からb ⃗へ 回転させた角をβ-αとすると |

a ⃗ =(a₁,a₂),b ⃗(b₁,b₂)でa ⃗からb ⃗へ
回転させた角をβ-αとすると
|a⃗||b⃗|cos(β-α)=a₁b₁+a₂b₂
|a⃗||b⃗|sin(β-α)=a₁b₂-a₂b₁
が成り立ち,
3次元の場合も同様にして
|a⃗||b⃗|cos(β-α)= a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃
となりますが
|a⃗||b⃗|sin(β-α)
はどのように表せますでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/05 22:29

＞表に書いた物を表側から見て反時計回りに回転です。

だから、その「表に書いた」という「表」を
三次元空間中の平面についてどう判別するのか。
できないでしょう？ という話をしているのです。
あなたが「表」だと思っている側を、
他の人は裏だと思っているかもしれません。
そこの意思統一を図る手段は何ですか、
何か手段があるのでしょうか？ という話です。
そんな手段は無いよ！というのが、No.1での説明です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/05 22:01

＞紙にa→,b→をかいたとき,かいた面と向かい合う人から見て反時計回りの場合だとどうなのでしょうか？

だから、「書いた面と向かい合う人」が面のどちら側から紙に向かい合っているのかな？
と訊ねている訳ですが...　解らないかなあ。
何か透明な板に矢印をふたつ書き込んで、両面から眺めてごらんなさい。

この回答へのお礼

裏 面 表
|
|
|
表に書いた物を表側から見て反時計回りに回転です。

お礼日時：2019/12/05 22:23

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/05 18:18

＞a ⃗を反時計回りを正としてb ⃗へ回転させた角としても符号の不定性は残りますでしょうか？

その「反時計回り」とは、 a ⃗,b ⃗ が張る面のどちら側から見て反時計回りなのでしょうか。
要点はそこにあると思います。

この回答へのお礼

紙にa→,b→をかいたとき,かいた面と向かい合う人から見て反時計回りの場合だとどうなのでしょうか？

お礼日時：2019/12/05 21:44

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/05 14:46

(|a⃗||b⃗|cos(β-α))^2 + (|a⃗||b⃗|sin(β-α))^2

= (|a⃗||b⃗|)^2{ cos(β-α))^2 + (sin(β-α))^2 }
= (|a⃗||b⃗|)^2
より、
(|a⃗||b⃗|sin(β-α))^2 = (|a⃗||b⃗|)^2 - (|a⃗||b⃗|cos(β-α))^2
= (a₁^2 + a₂^2 + a₃^2)(b₁^2 + b₂^2 + b₃^2) - (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)^2
= (a₁b₂)^2 + (a₁b₃)^2 + (a₂b₁)^2 + (a₂b₃)^2 + (a₃b₁)^2 + (a₃b₂)^2
　　- 2(a₁a₂b₁b₂ + a₂a₃b₂b₃ + a₃a₁b₃b₁)
です。よって、
|a⃗||b⃗|sin(β-α) = ±√(上記の式).

この右辺の ± は、質問の条件からは決められません。
与えられた a ⃗ =(a₁,a₂), b ⃗(b₁,b₂) に対して
「a ⃗ から b ⃗ へ回転させた角を β-α とする」では、
どちら回りに回転したか判らないからです。
このため、β-α = ±(ある角度) であることしかわからず、
sin(β-α) = ±(ある値) という符号の不定性が残ります。
β-α を 180° 以下になるようにとるのであれば、
sin(β-α) は正のほうを採っておけばよいでしょう。

表した後の利用目的がわからないので、とりあえず
(上記の式) は上記のように展開して書いておくのが無難かと思いますが、
(上記の式) = (a₂b₃ - a₃b₂)^2 + (a₃b₁ - a₁b₃)^2 + (a₁b₂ - b₁a₂)^2
という変形は、外積の幾何学的解釈のために有名です。

この回答へのお礼

a ⃗を反時計回りを正としてb ⃗へ回転させた角としても符号の不定性は残りますでしょうか？

お礼日時：2019/12/05 16:47