数学 高1 解説お願いします。 問:さいころを1の目が3回出るまで繰り返し投げるものとする。n回目で

数学 高1
解説お願いします。

問:さいころを1の目が3回出るまで繰り返し投げるものとする。n回目で終わる確率をP nとする時、次の問いに答えよ。ただし、3≦nとする。

P nが最大となる nを求めよ。

答え…n＝12、13

問題集にある解説を読んでも理解できなかったので解説お願いします。

No.5 回答者： BAY19981026 回答日時： 2019/12/30 21:36

n回目で終わるということは、n-1回目までに2回、1の目が出て、n回目で1の目が出る確率ですから、

Pn＝n-1C₂×(1/6)²×(5/6)^(n-3)×(1/6)=(n-1)(n-2)÷２×(1/6)^n×5^(n-3)=(n-1)(n-2)×5^(n-3)/(2×6^n)
ここでPn/p(n-1)＝(n-1)(n-2)×5^(n-3)/(2×6^n)÷{(n-2)(n-3)×5^(n-4)/(2×6^(n-1))}＝5(n-1)/6(n-3)
Pn/p(n-1)≦1のとき(n≧４として)
5(n-1)/6(n-3)≦1 ⇒ 5(n-1)≦6(n-3) ⇒ 5n-5≦6n-18 ⇒ n≧13
∴n≦12のときPn>P(n-1)、n=13のときPn=P(n-1)、n≧14のときPn＜P(n-1)
よってP13=P12=12×11×5^10/(2×6^13)=11×5^10/6^12
が最大となります。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/30 15:56

n 回目までに 1 が 3回出る確率は

二項確率 (nC3){ (1/6)^3 }{ (5/6)^(n-3) } だから、
n 回目に初めて 3 回目の 1 が出る確率 Pn は
Pn = (nC3){ (1/6)^3 }{ (5/6)^(n-3) } ー ((n-1)C3){ (1/6)^3 }{ (5/6)^(n-1-3) }
= (1/3!){ (1/6)^3 }{ (5/6)^(n-4) }{ n(n-1)(n-2)(5/6) ー (n-1)(n-2)(n-3) }
= { (1/6)^5 }{ (5/6)^(n-4) }(n-2)(n-1)(18-n).
以上は n ≧ 4 の場合の話で、n = 3 の場合は別個に
P3 = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/6^3.
代入してみると、結果的に n = 3 の場合も上記の式でよいことが判る。

Pn が最大値なら、P(n-1) ≦ Pn ≧ P(n+1) となっているはずだから、
この不等式を解けば Pn が最大となる n の候補が絞られる。
{ (1/6)^5 }{ (5/6)^(n-1-4) }(n-1-2)(n-1-1)(18-(n-1)) ≦ { (1/6)^5 }{ (5/6)^(n-4) }(n-2)(n-1)(18-n),
{ (1/6)^5 }{ (5/6)^(n-4) }(n-2)(n-1)(18-n) ≧ { (1/6)^5 }{ (5/6)^(n+1-4) }(n+1-2)(n+1-1)(18-(n+1))
を整理して
(n-3)(n-2)(19-n) ≦ (5/6)(n-2)(n-1)(18-n),
(n-2)(n-1)(18-n) ≧ (5/6)(n-1)n(17-n)
より
(n-2)(n-9)(n-28) ≧ 0,
(n-1)(n-8)(n-27) ≦ 0
これを満たす n は n = 8, 9 に限られる。

P3 ≦ P4 ≦ P5 ≦ P6 ≦ P7 ≦ P8 = P9 ≧ P10 ≧ ...
となっていることになるから、最大値は P8, P9。
って、あれれ？

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/30 15:03

さいころを1の目が3回出るまで繰り返し投げn回目で終わるということは、(ｎ-１)回目までに1の目が

2回出て、ｎ回目に１の目がでるということです。

(ｎ-１)回目までに1の目が2回出るということは、(ｎ-１)回目までに1の目が2回出て、1以外の目が(ｎ-3)回出るということなので、(ｎ-１)回目までに1の目が2回出る確率は、
(n-1) C₂ (1/6)^2・(5/6)^(n-3) となります。
そして、ｎ回目に1の目が出るので、
Pｎ＝(n-1) C₂ (1/6)^2・(5/6)^(n-3) ・(1/6)
=(n-1) C₂ (1/6)^3・(5/6)^(n-3) ……[1]

Pｎが最大になるｎですが、PｎとPｎ+1を比べるとわかります。
①Pｎ+1/Pn>1 のときは、Pｎ+1>Pｎ
②Pｎ+1/Pn＝1 のときは、Pｎ+1＝Pｎ
③Pｎ+1/Pn<1 のときは、Pｎ+1<Pｎ

[1] より、
Pｎ+1＝nC₂ (1/6)^3・(5/6)^(n-2)
よって、
Pn+1/Pn={nC₂ (1/6)^3・(5/6)^(n-2)} /{(n-1) C₂ (1/6)^3・(5/6)^(n-3)}
={n(n-1)/2・ (1/6)^3・(5/6)^(n-2)}/ {(n-1)(n-2)/2・ (1/6)^3・(5/6)^(n-3)}
=n/(n-2)・(5/6)
=5n/6(n-2)

①のとき、5n/6(n-2)>1
5n>6(n-2)
n<12
n<12 のときは、Pn<Pn+1

②のとき、5n/6(n-2)=1
n=12
n=12 のときは、n+1=13 より、P12＝P13

③のとき、5n/6(n-2)<1
n>12 のとき、Pn>Pn+1

これより、
P3<P4<P5<……<P11<P12=P13>P14>P15>……
したがって、Pｎが最大になるｎ＝12、13 となります。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/12/30 03:50

素直に Pn を計算してそれが最大になるような n を求めればいい.

No.1 回答者： ぷらぐろまあ 回答日時： 2019/12/30 00:34

P3～P15くらいまで計算して並べると分かりやすいかと。