全有界かつ完備なら、コンパクトの証明 アールフォルスの全有界かつ完備なら、コンパクトの証明が、記号の

全有界かつ完備なら、コンパクトの証明
アールフォルスの全有界かつ完備なら、コンパクトの証明が、記号の省略が多く、オレンジ下線部分が何故言えるのかがわかりません。ある開被覆に関して、有限被覆がないとする。と仮定していて（Aとします）、B（x,ε1）各々のが有限部分被覆をもてば、Sも有限部分被覆を持つことになる。と書かれていますが、その有限被覆がとりだせるのは、Aから取り出せるということですか？

質問者からの補足コメント

• 証明残り部分です。よろしくお願いします

  
    補足日時：2020/01/18 16:05

No.1 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2020/01/20 11:21

コンパクト

の定義は、
どんな、開被服に対しても、開被服に使われている開集合の中から有限個を上手く選べば、
その選んだ有限個で、空間全体を覆える。
ということです。
さて、全有界は、
全ての実数 ϵ > 0 に対して、 S 内の半径 ϵ > 0 の開球の有限個の集まりでその合併が S を覆う様なものが存在すること。
です。
Sが全有界と仮定すれば、
Sを覆おう有限個の開球を選べます。
さて、
証明の文章に沿って考えれば、
全有界なのに、コンパクトではないとすれば、
コンパクトではないのだから、
ある開被覆があって、その被覆からは、有限個の開集合からなるSの被覆を作れない。。。。。*
ことになります。
このような被覆が存在したとする。
この被覆と固定して考える。
この被覆はSを覆っているのだから、Sに含まれる開球も覆っている。
開球の個数は有限個。
全ての開球が有限個の開集合（固定したSの被覆の中から選んだもの）でカバーされているなら、
開球全体がSをカバーしているのだから、
S自体も有限個（有限個*有限個＝有限個）の開集合で覆われることになり、
条件*に矛盾する。
だから、すくな事も1個の開球は、有限個の開集合ではカバーできないことになる。

と言うのが、
オレンジ色の部分の意味です。
落ち着いて読み返しましょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます、解決しました

お礼日時：2020/01/25 14:33