A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
3次関数が極大値、極小値をもつための必要十分条件は、以下。
f(x)の導関数f'(x)の判別式が正であること
導関数f'(x)は
f'(x)=3x^2 - 2ax + (1-2a)
f'(x)の判別式は
(2a)^2 - 4×3×(1-2a)>0
4a^2 - 12(1-2a)>0
a^2 - 3(1-2a)>0
a^2 + 6a - 3>0
解の公式より、
a=(-6±√(6^2 - 4×(-3)))/2
=(-6±√(36 +12))/2
=(-6±√48)/2
=(-6±√(16×3))/2
=(-6±4√3)/2
=-3±2√3
よってa<-3-2√3 または a>-3+2√3
No.1
- 回答日時:
f'(x)=3x²+1-2a
増減表を書けばわかるが
f(x)が極値を持つためには
f'(x)=0となる前後で f'(x)の符号が変わることが必要
今回f'(x)はxの2次関数だから
分かりやすいように f'(x)をyにおきかえて考えると
y=3x²+1-2aが y=0となる前後でyの値の符号が変わればよいということになる
これをグラフに置き換えてみると、2次関数グラフがx軸をまたげば良いということ
このような状態のグラフはx軸と2回交わる
つまりx軸との交点が2個あるということ
このとき、3x²+1-2a=0が異なる2つの実数解をもつことになるから
判別式Dは
D=1²-4・3・(-2a)>0
これが極値を持つ条件!
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