一次元ポテンシャル障壁中のDirac方程式の波動関数

　明けまして、おめでとうございます。
本年もよろしくお願いします。

さて、早速ですが、下記につきまして教えてください。

Schrodinger方程式では、下記のようなポテンシャル障壁があると
V=0, x<0
V=V0, x>0

各領域において方程式は、
-hbar^2/2m d^2φ1/dx^2= E φ1

-hbar^2/2m d^2φ2/dx^2 + V0φ2 = E φ2

となり、境界条件は

φ1(x=0)= φ2(x=0)

x=0において、　dφ1/dx= dφ2/dx

となって、波動関数は、E<V0の領域で

φ1= c1 Exp(iax)+c1((ia-b)/(b+ia))Exp(-iax)

φ2= c1((2ia)/(b+ia))Exp(-bx)

となると、ほとんどの教科書には、記載されておりますが、Dirac方程式については、
一次元ポテンシャル障壁中の波動関数がどのようになるのか？見たことがありません。
たぶん、Schrodinger方程式と同じようになると思われますが、導出方法をご教示
願います。

No.1 回答者： shiara 回答日時： 2005/01/02 21:33

　ディラック方程式に１次元のポテンシャル障壁を適用した問題は見たことがありません。

誰もそういう問題を扱おうとはしていないからでしょうか。その理由として次のようなことが想像されます。ディラック方程式はローレンツ変換に対して共変である必要があることから、ポテンシャルもローレンツ変換に共変でなければなりませんので、４次元的にスカラーかベクトルポテンシャルである必要があります。ベクトルポテンシャルを扱う場合は、まさに電磁力との相互作用を扱う問題となります。スカラーポテンシャルについては、共変な形式にしなければならないようなスカラーポテンシャルを扱う現象がないのかもしれません。また、ディラック方程式は、スピンと軌道角運動量を扱う場合に有効であって、スピンが関係しない１次元ポテンシャル問題に適用する必要がないのではないかと思います。そんな理由で、ディラック方程式に１次元のポテンシャル障壁を適用する問題が扱われてこなかったのではないかと思われます。
　ディラック方程式にスカラーポテンシャルを入れる場合は、ディラック方程式の中でスカラー量である静止質量エネルギーｍc^2に、スカラーポテンシャルを付け加えればよいと思います。

No.2 ベストアンサー 回答者： grothendieck 回答日時： 2005/01/09 00:10

ディラック方程式にスカラーポテンシャルを入れる場合、静止質量エネルギーｍc^2に、スカラーポテンシャルを付け加えたのではだめです。

一般相対論におけるディラック方程式は書いてある本が少ないけど、ディラック方程式への電磁相互作用の入れ方はどの本にでも書いてあると思いますが。ディラック方程式への電磁相互作用を入れるときは、ゲージ不変にするために、微分を共変微分で置き換えます（このような相互作用はminimal couplingと呼ばれています）。つまりスカラーポテンシャルは時間微分作用素に付け加えなければならないのです。一次元ポテンシャル障壁中のディラック方程式も電子が高エネルギーになれば当然考える必要が出てくると思います。

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2005/01/09 04:21

一次元ポテンシャル障壁中のDirac方程式はKleinのパラドックスとの関連でよく調べられています（Kleinのパラドックスの説明はたとえばItykson,Zuber;Quantum Field Theory, Mc-Graw Hille P.62）。

これはディラック方程式を１粒子理論で解釈しようとするときの困難のひとつです。文献はPhysics ReportsにKleinのパラドックスの総合報告があったと思いますので、それを見てください。

参考URL：http://www.phy.ilstu.edu/~ilp/movies/kleinmovie/