積分方程式の問題です． f(x)=exp(x)+∫_0^x f(t)dt+∫_0^-x f(t)dt

積分方程式の問題です．
f(x)=exp(x)+∫_0^x f(t)dt+∫_0^-x f(t)dt⋯①．
これのxを-xに置き換えて
f(-x)=exp(-x)+ ∫_0^x f(t)dt+∫_0^-x f(t)dt⋯②．
①-②よりf(x)-f(-x)=exp(x)-exp(-x)⋯③．
①を微分して③を代入すると
f′(x)=2exp(x)-exp(-x)⋯④．
①よりf(0)=1⋯⑤.

①は④かつ⑤と同値になりますでしょうか？

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/02/26 23:06

なりません。

f(x)-f(-x)=exp(x)-exp(-x)　の特殊解は、f(x)=exp(x) ですが、①は満たしません。

この回答へのお礼

③は①の必要条件という事でしょうか？

①を微分して
f′(x)=exp(x)+f(x)-f(-x)⋯①′
①⇔①′かつ⑤

①′を満たすようなf(x)は③を満たすので、①′は④と変形出来るという理解でよろしくでしょうか？

お礼日時：2020/02/27 00:45

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/02/26 16:48

そうなります。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
①と③は同値ではないですか？

お礼日時：2020/02/26 20:31