黒線の式になるのはなぜですか？

黒線の式になるのはなぜですか？

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/03/05 16:59

No.1 訂正です。

公式の文字と問題の文字が混乱していますので、公式の文字を一般の場合とは異なる文字を使用して表します。
公式の部分を差し替えてください。
初項 a 、公比 p 、項数 r の等比数列の和 S は、S=a{p^r-1}/(p-1)

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/03/05 16:34

左辺の和の式の足す順番を逆にして、式の終わりから足します。

1・2^r + 1・2^(r-1) + 1・2^(r-2) +……+ 1・2^1 + 1・2^0
=1・2^0 + 1・2^1 +……+ 1・2^(r-2) + 1・2^(r-1) + 1・2^r

これは、初項１、公比２、項数 r+1 の等比数列の和なので、公式 S=a(r^n-1)/(r-1) により、
1・2^r + 1・2^(r-1) + 1・2^(r-2) +……+ 1・2^1 + 1・2^0
=1×{2^(r+1)-1}/(2-1)
={2^(r+1)-1}/1
=2^(r+1)-1
となります。