積分について

画像の丸で囲ってある所は、何がしたいのでしょうか、、
詳しく教えてください(><)

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/06 14:33

あ、4 を忘れてた。

4∫[0, π/2] (sin^5 θ - sin^7 θ) (sinθ)’ dθ
= 4[　(1/6)u^6 - (1/8)u^8　]_(u=0, 1)
= 4・1/24
= 1/6.
ですね。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/06 14:31

置換積分ですね。

∫f(u)(du/dx)dx = ∫f(u)du です。
丸のついた (sinθ)’ は、その上の行の cosθ を書き換えたもので、
’ は微分、d(sinθ)/dθ の意味です。

u = sinθ とでも置けば、
∫[0, π/2] (sin^5 θ - sin^7 θ) (sinθ)’ dθ
= ∫[0, π/2] (u^5 - u^7) (du/dθ) dθ
= ∫[sin0, sin(π/2)] (u^5 - u^7) du
= [　(1/6)u^6 - (1/8)u^8　]_(u=0, 1)　　　　　　　　←[1]
= [　(1/6)sin^6 θ - (1/8)sin^8 θ　]_(θ=0, π/2)
と変形できます。

u を sinθ へ戻さず [1] から直接 = 1/6 としていいと思いますが。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/03/06 14:01

部分積分

４∫（sin⁵ｘ－sin⁷ｘ）（sinx)'dx=4[0-π/2]（sin⁵ｘ－sin⁷ｘ）*（sinx)-4∫（sin⁵ｘ－sin⁷ｘ）’（sinx)ｄｘ
＝4[0-π/2]（sin⁶ｘ－sin⁸ｘ）-4∫（5sin⁴ｘ/cosx－7sin⁶ｘ/cosx）（sinx)ｄｘ
＝4[0-π/2]（sin⁶ｘ－sin⁸ｘ）-4∫（5sin⁴ｘ－7sin⁶ｘ）(-1/sin²x)’ｄｘ
＝4[0-π/2]（sin⁶ｘ－sin⁸ｘ）＋4[0-π/2]（5sin²ｘ－7sin⁴ｘ）＋4∫（20sin³ｘ/cosx－42sin⁵ｘ/cosx）(-1/sin²x)’ｄｘ
・・・・とつづく