二重積分についてなのですが ∫[0~√π](∫[y^2~π]ysin(x^2)dx)dy は積分でき

二重積分についてなのですが
∫[0~√π](∫[y^2~π]ysin(x^2)dx)dy
は積分できますか？
[]の中は積分範囲です

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/27 21:59

これ↓とほぼ同じ質問かな？

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11546736.html
質問者は別人のようですが、内容があまりに似ている。

∫ sin(x^2) dx の不定積分は、できないでもないのですが、
結果がけっこうどえらい関数になるので、それを更にもう一度
積分しようというのはとんでもない試みです。
だから、この累次積分を dx のほうからやってはいけない。

積分範囲を S = { (x,y) | 0 ≦ y ≦ √π, y^2 ≦ x ≦ π }
= { (x,y) | 0 ≦ y ≦ √x, 0 ≦ x ≦ π }.
と変形して、dy のほうから積分します。

∬[S} y sin(x^2) dxdy
= ∫[0≦x≦π] ∫[0≦y≦√x] y sin(x^2) dy dx
= ∫[0≦x≦π] sin(x^2) ∫[0≦y≦√x] y dy dx
= ∫[0≦x≦π] sin(x^2) (1/2){ x - 0 } dx
= (1/2) ∫[0≦x≦π] x sin(x^2) dx
= (1/2) [ (1/2)sin(x^2) ]_(x=0,π)
= (1/2) (1/2){ sin(π^2) - sin(0^2) }
= (1/4) sin(π^2).

この回答へのお礼

ありがとうございましたm(_ _)m
積分の順序を入れ替えるまでは考えてませんでした。

お礼日時：2020/03/28 00:15

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/03/27 22:23

わざわざ括弧つきで書いてあるから、dxから行う二重積分を問うているのだと思った。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/03/27 20:17

積分できない。

∫sin(x^2)dxが初等関数で表せない。