フーリエ級数展開におけるフーリエ係数について質問です.

フーリエ係数というのは数列で指定されますが, なんとなく私の感覚として, (例えば定義域が2πの関数についての場合について)a_k*coskxやb_k*sinkxのkの値が大きくなるほど関数への影響が小さくなる(フーリエ係数はkが大きくなるにつれ単調減少する)イメージがあるのですが, これは一般的に言えることなのでしょうか.

他にもフーリエ係数が等比数列になるイメージがあるのですが, 一般的に成り立つ事では無いでしょうか.

もしこれらのことが一般的に成り立つのであれば, ざっくりとでも構いませんので, なぜそのようになるのか説明して頂けると助かります.
逆に成り立たない場合は反例など示して頂けると嬉しいです.

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2020/03/31 15:56

単調減少というのは不正確です。

フーリエ級数Σa_k*coskx，Σb_k*sinkxのkは普通k=0~∞です。有限級数なら最後の項の先はフーリエ係数はみな0です。無限級数の場合、フーリエ級数が収束しなければ、何の意味もありません。フーリエ級数が収束するためにはk→∞のときlim a_k=0，lim b_k=0が必要十分条件です。しかし、単調減少するは必要条件ではないのでイメージは不正確です。例えば、
a_k＝sinｋ/ｋやa_k＝((－1)^ｋ)/ｋは単調ではないが、振動しながら、極限値0に収束する。
絶対値| a_k |，| b_k |は単調減少です。
２、他にもフーリエ係数が等比数列になるイメージがあるのですが, 一般的に成り立つ事では無いでしょうか.>
あまり主流のイメージではないが、等比数列になるときは、級数の総和を式で書けて、次の例がある。
公比rは0≦r<1 とする。xは0≦x<2π とする。
Σ(n=1~∞)r^n*cos nx=(1－rcosx)/(1－2rcosx+r²)＿(1)
Σ(n=1~∞)r^n*sin nx=rsinx/(1－2rcosx+r²) ＿(2)
Σ(n=1~∞)((r^n)/n)*sin nx=Arctan(rsinx/(1－rcosx)) ＿(3)
級数の総和は右辺の式で書けるので、級数を使う必要はない。
フーリエ級数の主流のイメージは矩形波です。
0<x<π　のときf(x)=π/4
π<x<2π のときf(x)=－π/4
継ぎ目ではf(0)= f(π)= f(2π)= 0　のとき
f(x)=Σ(k=0，∞) sin (2k+1)x/(2k+1)
　= sin x+ sin 3x/3+ sin 5x/5+ sin 7x/7+･･･＿(4)
f(x)のグラフは図１となる。フーリエ係数b_kは
　1．0．1/3．0．1/5．0．1/7．0．
ここでx=π/2 とすると、次の普通では和を求めるのが難しい級数の和の公式ができる。
π/4=1－1/3+1/5－1/7+－･･･＿(5)
次に(4)式を積分すると、次の式が得られる。
∫f(x)dx=πx/4+C=－Σ(k=0，∞) cos (2k+1)x/(2k+1)²
－1をかけたものをg(x)とすると(6)となる。
g(x) =－πx/4－C== cos x+ cos 3x/3²+ cos 5x/5²+ cos 7x/7²+･･･＿(6)
ここで、x=π/2 とすると、g(π/2) =－π²/8－C=0＿(7)
C=－π²/8となるので、0<x<πの範囲で(6)は(8)となる。
g(x) =π²/8－πx/4= cos x+ cos 3x/3²+ cos 5x/5²+ cos 7x/7²+･･･＿(8)
g(x)のグラフは図２となる。フーリエ係数a_kは
　1．0．1/3²．0．1/5²．0．1/7²．0．
ここで、x=0 とすると、次の難しい級数の和の公式ができる。
π²/8=1+1/3²+1/5²+1/7²+･･･＿(9)
f(x)のように関数の値がジャンプするときは、フーリエ係数は分母がkの１次式になる。
f(x)を微分してf'(x)を作ると、ジャンプする点で微分不可能なので、フーリエ級数は収束しない。
f(x)を積分してg(x)を作ると、関数の値のジャンプは消え、ジャンプ点で勾配が不連続になり、角(かど)ができる。フーリエ係数は分母がkの２次式になる。
ほかに、－π<x<π　のときh(x)=x+x²とすると
h(x)= π²/3+Σ(k=1，∞) (－1)^k {－4 cos kx－2 sin kx}/k²＿(10)
ここで、x=0 とすると、次の難しい級数の和の公式ができる。
π²/6=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+･･･＿(11)
その他の多数の公式は専門書で見て下さい。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/30 00:12

f(x) = Σ[k=0→∞]{ (A p^k)cos(kx) + (B q^k)sin(kx) } で表される関数 f(x) が

たった４個のパラメータ A, p, B, q で決まってしまうことを考えれば、
それで任意の周期関数を表せるはずがない...それ以外のフーリエ展開になる関数がある
ことは計算する前に自明だと思うけど。
あるいは、関数空間の実ベクトル空間としての次元を考えてみる？

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/29 23:31

例えば矩形波では, 係数は等比数列でもないし「単調に」は減少しない.

No.1 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2020/03/29 23:27

お疲れ様です。

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