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以下、添削お願いします。
これで正答でしょうか。

問題
実数係数の多項式環R[X]において、
f(x)=x^3+2^x-3x+1とg(x)=x^2+2x-2の最大公約元が1であることを、多項式のユークリッドの互除法を用いて示せ。

解答
定理(ユークリッドの互除法の原理)
多項式f,gについて、fをgで割った商をgとし、余りをrとする。
すなわち、f=qg+r(deg r <=deg g が成り立つ)
このとき、GCD(f,g)=GCD(g,r)

f(x)=x^3+2^x-3x+1とg(x)=x^2+2x-2から、
GCD=(x^3+2^x-3x+1,x^2+2x-2)を計算する。

f(x)=x*f(x) + (-x+1)
x=-1*(-x+1) + 1
GCD(f,g) = GCD(g,1) =1

よって、f(x)=x^3+2^x-3x+1とg(x)=x^2+2x-2の最大公約元が1。

A 回答 (3件)

問題が間違っています



f(x)=x^3+2^x-3x+1

2^x
は多項式ではないのでR[x]の要素でないので解けません

g(x)=x^2+2x-2

f(x)=xg(x)-x+1
とすると
f(x)=x(x^2+2x-2)-x+1
f(x)=x^3+2x^2-3x+1
だから

問題
実数係数の多項式環R[X]において、
f(x)=x^3+2x^2-3x+1とg(x)=x^2+2x-2の最大公約元が1であることを、
多項式のユークリッドの互除法を用いて示せ

解答
定理(ユークリッドの互除法の原理)
多項式f,gについて、fをgで割った商をqとし、余りをrとする。
すなわち、f=qg+r(deg r ≦deg g が成り立つ)
このとき、GCD(f,g)=GCD(g,r)

f(x)=x^3+2x^2-3x+1とg(x)=x^2+2x-2から、
GCD=(x^3+2x^2-3x+1,x^2+2x-2)を計算する。

f(x)=x*g(x) + (-x+1)
g(x)=(-x-3)*(-x+1) + 1
GCD(f,g) = GCD(g,-x+1) =1

よって、f(x)=x^3+2x^2-3x+1とg(x)=x^2+2x-2の最大公約元が1
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f(x)=x^3+2^x-3x+1 の誤字は


f(x)=x^3+x^2-3x+1
ではなく
f(x)=x^3+2x^2-3x+1
です
どちらにしても正答ではありません

f(x)=x*f(x)+(-x+1)
ではなく
f(x)=x*g(x)+(-x+1)
です
x=-1*(-x+1)+1
ではなく
g(x)=(-x-3)(-x+1)+1
です
GCD(f,g)=GCD(g,1)=1
ではなく
GCD(f,g)=GCD(g,-x+1)=1
です
「多項式環Rについての問題」の回答画像3
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いいんじゃない、合ってる。


f(x)=x^3+2^x-3x+1 の誤字は
f(x)=x^3+x^2-3x+1 に直したほうがいいけど。
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