宇宙船の速度はいかほどに見えるのか？

　例えば宇宙の任意の点Ｐを限りなく光速（とりあえず光速の９９％として）に近い
速度で宇宙船Ａが通過したとします。
当然、点Ｐからも宇宙船Ａからもお互いにどちらも
光速に限りなく近い速度で遠ざかる様に観測されますよね。

　そんな宇宙船Ａと宇宙船Ｂがすれ違いました。
宇宙船Ｂは宇宙船Ａと同じ速度で点Ｐに向かっています。
　宇宙船Ａにとって点Ｐは限りなく光速に近い速度で遠ざかっているように見えますが、宇宙船Ｂも限りなく光速に近い速度で遠ざかって行きます。

　宇宙船Ａから見て、宇宙船Ｂも店Ｐも同じ速度で
宇宙船Ａから遠ざかってゆくように見えるのでしょうか？宇宙船ＢとＰの間の空間は宇宙船Ａからどんなふうにみえるのでしょう？
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： cozycube1 回答日時： 2005/01/11 22:41

・相対論的速度の足し算

走る列車の中で乗客Ａが乗客Ｂを拳銃で撃つとします（例によってＡ，Ｂは時刻あわせした時計を持っているとします）。ＡＢの距離は、列車のなかではL0、外、つまり相対速度ｖを持つ観測者ＤからみてLだとします。拳銃発射から着弾までは、以下のような状況になります。列車中でみた弾丸の速度がv'、列車のＤに対する速度がv、Ｄに対する弾丸の速度がv"とします。

　１）発射！　　　　　　　 ２）命中！
　＋－－－－－－－＋　　　＋－－－－－－－＋
　｜バーン！　　　｜　　　｜　　 ズギュ！｜
　｜Ａ＊→ｖ'　 Ｂ｜　　　｜Ａ　　　＊→Ｂ｜　速度ｖ→
　＋－－－－－－－＋　　　＋－－－－－－－＋
　　｜←－L0－→｜　　　　　｜←－L0－→｜
－-－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　外｜←－－－vΔt'-－－－→｜←－L-－→｜
　　｜←－－－－－－VΔt'-－－－－－－→｜
　　｜←－－－－－－Ｓ－－－－－－－－→｜Ｄから見た距離
　　Ａ'　　　　　　　　　　　　　　　　 Ｂ'
　　　　　　Ｄ

さて、列車内でピストルを発射した時刻をTa、Ｂが撃たれた時刻をTbとします。これにかかる時間を、
　Tb - Ta = Δt0
として、「列車に対する」弾丸の速度 v' は、
　v' = L0/Δt0

一方、外から見ているＤからは、Ａ'で発射時刻がT'a、Ｂ'での命中時刻がT'bだとします。Ａ'Ｂ'にははＤから見て時刻が合わされた時計が置いてあるとします。で、発射から命中までにかかる時間を、
　T'b - T'a = Δt'
とすると、「Ｄに対する弾丸の速度 v"」は、上の図と見比べて計算すると以下のようになります。
　v"= S/Δt' = (vΔt' + L) / Δt' = v + L/Δt'

問題はΔt0とΔt'の関係です。列車内で時刻が合わされたＡ，Ｂの時計は外のＤからすれば合っていません。時刻のずれ方は、先のの計算で、以下のようになりました。

　　　　　　vL0/c^2
　Δt = ----------------
　　　　√(1 - (v/c)^2)

これを使って異なる二つの時刻の引き算をしてみると、

　Δt' = T'b - T'a = ・・・ =　　Δt0+(vL0/c^2)
　　　　　　　　　　　　　　　------------------
　　　　　　　　　　　　　　　√(1 - (c/v)^2)
さらに、ローレンツ短縮の式を使ってLをL0に直したりして計算していくと、先に出てきたＤに対する弾丸の速度 v' は、L0/Δt0 = v'に注意して、
　　　　　　　　　　　　　　L0√(1 - (v/c)^2)
　v"= v + L/Δt'=v + -------------------------------------
　　　　　　　　　　　(Δt0 + (v*L0/c^2)) / √(1-(v/c)^2)

　　　　　　(L0/Δt0)(1 - (v/c)^2)　　　　　v' - (v'v^2/c^2)
　　= v + ------------------------- = v + -------------------
　　　　　　1 + (v*(L0/Δt0)/c^2)　　　　　1 + (vv'/c^2)
　　　　　v + v'
　　= ----------------- ---(4)
　　　　1 + (v'v)/c^2

念のためもう少し(4)式をむりやり変形すると、光速以下を足し合わせても光速以下にしかならないことが、はっきりします。
　　　　　　　(1 - v/c)(1 - v'/c)
　v'= c * (1 - -------------------)
　　　　　 　　　１+ (v'v)/c^2

　さてご質問でお考えの、AからみてPに対してBは遠ざかる方向に速度を持っています。上述のようにAからみてBが光速を超えるわけではありませんが、速度は加算されますので、AからみてPよりBのほうが速度は大きいことになります。

No.2 回答者： Naoki_M 回答日時： 2005/01/14 00:07

すみませんが、質問の内容を正しく解釈できているか自信がないので、間違っていたら訂正をお願いします。

Ｐから見た場合（ＡとＢがすれ違ったあと）
Ｐ　　　　　(0.99c)←Ｂ　　　　　Ａ→(0.99c)
()内はＰからみたＡ、Ｂの速さ　　　 　　　　　　

Ａから見た場合
(0.99c)←Ｐ(0.99995c)←Ｂ　Ａ
()内はＡからみたＰ、Ｂの速さ　

Ａからは、ＰよりもＢのほうが速く遠ざかるように見えます。ＰとＢとの間の空間は、Ａから見ると、Ｐから見た場合に比べて縮んで見えます（0.141倍くらい）。実際にどのように見えるかという点は、私にはよくわからないので答えられません。ＳＦでは、光速に限りなく近い速さで飛んでいる宇宙船からは、進行方向に星が集まって見え、ドップラー効果で星の色が変わるために虹のようなもの（星虹、スターボウ）も見えるようです。

細かいことですが、質問文の中の「速度」という言葉は、すべて「速さ」のことだと解釈しました。速度はベクトル（向きと大きさを持つ量）、速さはスカラー（大きさのみを持つ量）なので、速度が同じだと、同じ向きに同じ速さで進んでいることになってしまいます。宇宙船ＢはＡから遠ざかるということですので、ＡとＢは、Ｐからみて同じ速さで互いに逆向きに進んでいるとみなしました。