数学B ベクトル

ベクトルと他分野の融合問題です。

三角形ABCにおいて、|→AC|=1,→AB•→AC=kである。
辺AB上に→AD=1/3→ABを満たす点Dをとる。
辺AC上に|→DP|=1/3|→BC|を満たす点Pが２つ存在するためのkの条件を求めよ。

わかりにくくてすみません。ベクトルABは→ABと表記させていただいています。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/05/27 20:30

辺ACを含む直線ｌを引きます。

B、Dより、直線ｌに垂線をおろし、その足をそれぞれ、E、Fとします。
△ADF∽△ABE
AF：AE＝AD：AB＝１：３
AF＝(1/3)AE……①

|→AC|=1
(→AB)・(→AC)=|(→AB)||(→AC)|cos∠BAC=|(→AB)|cos∠BAC=AE
(→AB)・(→AC)=k より、
AE=K
①より、
AF=(1/3)k……②

Dより、BCに平行な直線をひき、ACとの交点をPとします。
△ADP∽△ABC
DP：BC＝AP：AC＝AD：AB＝１：３……③
DP＝(1/3)BC
よって、この点Pは条件を満たしています。
この点の他に条件を満たす点をP’とします。

|→BC|=a として、点Dを中心に半径 a/3 の円Dを書きます。
円Dと直線ｌは共有点Pを持ちます。

[1] 円Dと直線ｌが接しているときは、共有点は１つでPだけです。
∠DPA＝90°
DP∥BCより、∠BCA＝90°
よって、EとCが重なるのでAE＝AC＝１
AE＝ｋより、ｋ＝１
これより、ｋ＝１のときは、点P’は存在しません。（∠BCA＝90°のとき）

[2] k≠1 のとき、円Dと直線ｌは交わるので、点Pと点P’が存在します。
ここで、∠BACの大きさにより次の3つの場合に分けて、点P’について調べます。

（ⅰ）∠BAC＝90°のとき、(→AB)・(→AC)=|(→AB)||(→AC)|cos90°＝０（ｋ＝０）
FとAが重なります。DP＝DP’より、△DPP’は二等辺三角形で、点P’と点Pは線分DFに関して線対称です。
よって、点P’はCAの延長上にあるので辺AC上にはありません。

（ⅱ）∠BAC＞90°のとき、cos∠BAC＜０なので、(→AB)・(→AC)＜０（ｋ＜０）
点P’と点Pは線分DFに関して線対称です。よって、点P’はCAの延長上にあるので辺AC上にはありません。

（ⅲ）∠BAC＜90°のときは、次の2つに分けて、点P’について調べます。(ｋ＞０)

（ア）∠BCA＜90°のとき、
DP∥BCより、∠DPA＜90°
△DPP’は二等辺三角形で、PF＝P’F
③より、
AP=(1/3)AC=1/3
②より、
AF＝(1/3)ｋ
PF=AP－AF＝1/3－(1/3)ｋ
P’F＝1/3－(1/3)ｋ
AP’＝AF－P’F＝(1/3)ｋ－{1/3－(1/3)ｋ}=(2/3)k－1/3
P’が辺AC上にあるということは、(2/3)k－1/3≧０、ｋ≧1/2

（イ）∠BCA＞90°のとき、
DP∥BCより、∠DPA＞90°
△DPP’は二等辺三角形で、PF＝P’F
PF＝AF－AP＝(1/3)ｋ－1/3
P'F＝(1/3)ｋ－1/3
AP'＝AF+P'F＝(1/3)ｋ+{(1/3)ｋ－1/3}=(2/3)k－1/3
P’が辺AC上にあるということは、(2/3)k－1/3≦１、ｋ≦２

以上により、点Pが２つ存在するためのｋの条件は、1/2≦ｋ<1 , 1<k≦２