No.2ベストアンサー
- 回答日時:
x = 2sinθ と置いたらよくない?
4 - x^2 > 0 でないと (4 - x^2)^(3/2) が実数にならないから、
積分が実積分として意味を持つのは -1 ≦ x ≦ 1 の範囲。
よって、θ は -π/2 ≦ θ ≦ π/2 の範囲にとることができる。 ←[1]
dx/dθ = 2cosθ を使って、
∫(4 - x^2)^(3/2) dx = ∫(4 - (2sinθ)^2)^(3/2)・(2cosθ)dθ
= ∫(2^3){ (1 - (sinθ)^2)^(1/2) }^3・(2cosθ)dθ
= ∫(2^4)(cosθ)^3 (cosθ)dθ ←[2]
= 16∫(cosθ)^4 dθ.
[2]のところで (1 - (sinθ)^2)^(1/2) = cosθ とできたのは、
[1]より cosθ ≧ 0 であることによる。
計算の続きは、
(cosθ)^4 = { (cosθ)^2 }^2 = { (1 + cos(2θ))/2 }^2
= (1/4){ 1 + 2cos(2θ) + (cos(2θ))^2 }
= (1/4){ 1 + 2cos(2θ) + (1 + cos(4θ))/2 }
= (1/4){ 3/2 + 2cos(2θ) + (1/2)cos(4θ) }
より
∫(4 - x^2)^(3/2) dx = 16∫(1/4){ 3/2 + 2cos(2θ) + (1/2)cos(4θ) } dθ
= ∫{ 6 + 8cos(2θ) + 2cos(4θ) } dθ
= 6θ + 4sin(2θ) + (1/2)sin(4θ) + C {Cは定数}
= 6θ + 8sinθcosθ + sin(2θ)cos(2θ) + C
= 6θ + 8sinθcosθ + 2sinθcosθ{ 1 - 2(sinθ)^2 } + C
= 6θ + { 10sinθ - 4(sinθ)^3 }cosθ + C
= 6 arcsin(x/2) + { 10(x/2) - 4(x/2)^3 }√(1 - (x/2)^2) + C
= 6 arcsin(x/2) + (1/4)x(10 - x^3)√(4 - x^2) + C.
No.3
- 回答日時:
置換積分を使うけど、正直かなり面倒。
x=2sinθとすると、
-2≦x≦2より、θの範囲は-π/2≦θ≦π/2となる。
dx/dθ=2cosθ
dx=(2cosθ)dθ
∫(4-x^2)^(3/2) dx
=∫(4-4(sinθ)^2)^(3/2) (2cosθ)dθ
=8∫(1-(sinθ)^2)^(3/2) (cosθ)dθ
=8∫((cosθ)^2)^(3/2) (cosθ)dθ
-π/2≦θ≦π/2の範囲では0≦cosθ≦1となるため、2乗と1/2乗を掛け合わせることができる。
=8∫((cosθ)^3)(cosθ)dθ
=8∫(cosθ)^4 dθ
cosの半角の公式 (cosX)^2=(1+cos2X)/2 より、
=8∫((1+cos2θ)/2)^2 dθ
=2∫(1+cos2θ)^2 dθ
=2∫(1 + 2cos2θ + (cos2θ)^2) dθ
=∫(2 + 4cos2θ + 2(cos2θ)^2) dθ
=2θ + 2sin2θ + 2∫(cos2θ)^2 dθ
=2θ + 2sin2θ + 2∫((1+cos4θ)/2) dθ
=2θ + 2sin2θ + ∫(1+cos4θ) dθ
=2θ + 2sin2θ + θ + (1/4)sin4θ + C
=3θ + 2sin2θ + (1/4)sin4θ + C
=3θ + 4sinθcosθ + (1/2)sin2θcos2θ + C
=3θ + 4sinθcosθ + sinθcosθ(1-2(sinθ)^2) + C
=3θ + 5sinθcosθ - 2cosθ(sinθ)^3 + C
=3θ + cosθ(5sinθ - 2(sinθ)^3) + C
x=2sinθより、
sinθ=x/2
θ=arcsin(x/2)※arcsinはsinの逆関数
また、sinθ=x/2を2乗すると、
(sinθ)^2=x^2/4
1-(cosθ)^2=x^2/4
(cosθ)^2=(4-x^2)/4
0≦cosθ≦1より
cosθ=(1/2)√(4-x^2)
よって、
∫(4-x^2)^(3/2) dx = 3arcsin(x/2) + ((5/4)x - (1/8)x^3))√(4-x^2) + C
(C:積分定数)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 高校 数学III 積分 数学IIIの積分でf(ax+b)の積分公式がありますが b=0の時どのように考えれ 4 2022/09/30 02:06
- 中学校 比の文章題 2 2022/08/28 02:49
- 数学 添付のような問題で、△ABIは△ABDの面積の3/5だという場合があります。 例えば同一底面をとり、 2 2022/09/04 14:21
- 預金・貯金 お金を貯めたいフリーター28歳独身女です…。 3 2022/07/03 20:45
- その他(暮らし・生活・行事) 現地見てもないのに値段決めることについて 4 2022/08/07 15:56
- リフォーム・リノベーション リフォームのトラブルの件で質問失礼します 8 2022/11/09 20:47
- 分譲マンション マンション大規模修繕工事の資金不足 神奈川県の築37年総戸数36戸のマンションの管理組合理事長を今年 7 2022/09/03 19:55
- 仕事術・業務効率化 いじめになりますか? 新人です。 会社のお局様 ・基本的に新人には仕事を教えない ・新人がミスしても 2 2022/04/17 22:37
- 車検・修理・メンテナンス 軽ワゴンを運転中に異音がするのでディーラー修理に出したところ、ターボのとあるホースに亀裂がどうとかで 6 2023/05/08 09:22
- スキー・スノーボード スキーに詳しい方に質問です! 4月14日から17日に上越国際スキー場か石打丸山スキー場に行こうと思っ 4 2023/02/27 23:51
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
フーリエ級数|cosx|
-
1/ a + bcosx (a,b>0)の 不定積...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
三角関数
-
cos(2/5)πの値は?
-
複素数の実部と虚部
-
cos(有理数*2π)=有理数となるの...
-
至急お願いします。 (1)y=arcta...
-
複素数zはz^7=1かつz≠1を満たす...
-
長方形窓の立体角投射率
-
X5乗-1=0 の因数分解の仕方...
-
x=rcosθ の微分
-
三角関数と極限値の問題
-
θが0度以上180度以下のとき cos...
-
tanの4倍角って何になりますか...
-
微分方程式 (d^2)/(dx^2)+y = s...
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
フーリエ級数、絶対値付き三角...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
複素数の問題について
-
自然対数eは何に使えるのですか...
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
積分
-
長方形窓の立体角投射率
-
三角関数
-
Σは二乗されないのですか?
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
cos(2/5)πの値は?
-
複素数zはz^7=1かつz≠1を満たす...
-
X5乗-1=0 の因数分解の仕方...
-
0 ≦θ ≦πのとき cos(2θ+π/3)=cos...
-
不定積分です
-
(cosθ+isinθ)^2=cos2θ+isin2θ ...
-
cos60°が、なぜ2分の1になるの...
-
三角関数で、
-
cosxのフーリエ級数が分かりま...
おすすめ情報