173番の問題がわかりません。何故因数分解して出た数字の指数を偶数にするのですか？わかる方解説お願い

173番の問題がわかりません。何故因数分解して出た数字の指数を偶数にするのですか？わかる方解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• 答えです。

  
    補足日時：2020/06/06 12:18

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/06 12:52

例えば√32=√2⁵＝√{(2x2)x(2x2)x2}=2x2√2=4√2です

ルートの中に同じ数のペアが出来たらルートの外へ出せるので
2の右肩の数字が５で奇数の場合はルートの中にペアになれなかった２が残ってしまっています

これと同じ理由で
√14400/n　のnに具体的な数字を当てはめて約分した後
ルートの中にペアになれなかった数字が残っていると√が残ってしまうので、√14400/nは整数にはなりません
ゆえに14400/nは約分後　各素因数の個数が偶数個である必要があります

ｎに数字を当てはめて約分した後　14400/n=2⁶x3²x5²となる場合や
14400/n=2⁴x3²x5²となる場合
14400/n=2⁴x3⁰x5²となる場合　などは各素因数ともペアができているのでルートの中に数字が残りません
ゆえに、これらのように約分後２，３，５の右肩の数字が偶数になれば√14400/nは整数になります
そのような約分結果を得るためには　nの素因数について２は偶数個、３も偶数個、５も偶数個である必要があるのです
ただしｎの候補をすべてを書き出すのは大変です
そこで、n=(2^2a)x(3^2b)x(5^2c)という式で代表させます
これならa,b,cにいかなる数字を入れても14400/nは約分後２，３，５についてすべてペアになれます
ただし、上限があります
14400=2⁶x3²x5²をnで約分するのですから
2の右肩の数は最高でも６で７を超えてはいけません
同様に 3と5の右肩の数字は３を超えてはいけません
ゆえに　aに当てはまる数字は0、１，２，３のいずれか
bとcは０か１のいずれかということになります
これなら、約分後14400/nは各数字ともペアができて√の中に数字が残らないというわけです

この回答へのお礼

遅れて申し訳ございません。詳しい説明ありがとうございます

お礼日時：2020/06/16 19:01

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/06/06 13:38

√aⁿのルートを外せるってのは、nが偶数の時だけだよ。

a²=a×aだから、√a²=a
a⁴=a²×a²だから、√a⁴=a²
a⁶=a³×a³だから、√a⁶=a³

アホらしいからここまで。

この回答へのお礼

遅れて申し訳ございません。回答ありがとうございます

お礼日時：2020/06/16 19:02