ベクトル解析でストークスの定理を使う問題ですが、これをストークスの定理を使わずに解くことはできますか

ベクトル解析でストークスの定理を使う問題ですが、これをストークスの定理を使わずに解くことはできますか？
円周方向の微小長さをどうおけばいいかが分かりません。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/06/20 09:15

1.

z=0 つまり、xy平面では dl=<dx, dy, 0>, A=<y, x²+0, y>
A・dl=ydx+x²dy
Cの y≧0 の部分で、y=+√(9-x²) , y≦0 の部分で、y=-√(9-x²)
となる。

∲[C]A・dl=∫[x=3→-3, y≧0] (ydx+x²dy)+∫[x=-3→3, y≦0] (ydx+x²dy)
=∫[x=3→-3, y≧0] √(9-x²)dx+∫[x=-3→3, y≦0] -√(9-x²)dx
+∫[x=3→-3, y≧0] x²dy+∫[x=-3→3, y≦0] x²dy

積分区間の方向を [X=-3,3]に統一して
=2∫[x=-3→3] -√(9-x²)dx -∫[x=-3→3] x²dy+∫[x=-3→3] x²dy
=-2∫[x=-3→3] √(9-x²)dx + ∫[x=-3→3] (-x²+x²)dy
=-2(1/2)[x√(9-x²)+9Arcsin(x/3)] [x=3,-3] + 0
=-9{Arcsin 1 - Arcsin(-1)}=-9(π/2+π/2)=-9π

2.
極座標に変換すれば、C上で
x=3cosθ, y=3sinθ
dl=<-3sinθ, 3cosθ, 0>dθ , A=<3sinθ, 9cos²θ, 3sinθ>
A・dl=(-9sin²θ+27cos³θ)dθ

∲[C]A・dl=-9∫[θ=0→2π] (1-cos2θ)/2 dθ+27∫[θ=0→2π] cos³θdθ
=-9・2π/2+0=-9π

ここで、下記を使った。
∫[θ=0→2π] cos³θdθ=∫[θ=0→π] cos³θdθ+∫[θ=π→2π] cos³θdθ
φ=θ-πとすると
　=∫[θ=0→π] cos³θdθ+∫[θ=0→π] cos³(φ+π)dφ
　=∫[θ=0→π] cos³θdθ-∫[θ=0→π] cos³φdφ
=0

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
2の解き方でやってたのに合わなくて、よく見たら
(cosθ)^3を積分するところを(cosθ)^2としてしまっていただけでした…
1の解き方も知れてすごくタメになりました！！

お礼日時：2020/06/20 17:20