ガウスの発散定理にスカラーの勾配ベクトル適用した場合の物理的解釈

ガウスの発散定理ですが、言葉書くと、
「ベクトル関数(場）の発散のある領域内部の体積分は、そのベクトル関数とその物体表面での外向き単位法線ベクトルとの内積を物体表面で面積分したものと等しい」
ですね。例としてベクトル関数を速度ベクトルとしたら、領域内部の量の増減と関連して考えると感覚的にわかりやすい定理に見えます。

そこで、そのベクトル関数として、あるスカラー関数の勾配（ベクトル）とした場合、物理現象との対応として解釈するとどうなるのでしょうか。スカラー関数の勾配と（物体表面の）単位法線ベクトルの内積は法線方向の方向微分ということになります。つまりあるスカラー量の法線方向の微分の面積分となります。
これって物理では何なんだろうといういことなのですが。
例えば、速度ベクトル(u,v,w)のx成分uはスカラー関数ですが、その勾配だったらそれはいったい何なんだろうということになります。
早い話、ベクトルの成分はスカラーであり、その勾配で作られるベクトルは何かということなのかもしれませんが。
やはり数式で書いた方がよかったかもですが。込み入っていますが、よろしくお願いします。

No.1 回答者： lv4u 回答日時： 2020/06/30 18:53

電気磁気学って、テストで点を取るってことだけ考えたら、あまり物理的な意味を考えないほうがいいのかもしれないと思っています。

「モデルを考えて、ある仮定をして、結果を数学で計算する。」
これだけを考えるほうがいいのではないでしょうか？

ただ、現代物理がぶつかっている壁を突破するには、時間がかかっても、物理的な意味を考えてみるのもいいかもしれないと思っています。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ベクトル解析を利用する分野は電磁気学と流体力学（弾塑性力学もかな？）が多いと思いますが、私は流体の方なのです。
境界での摩擦力のようなものにならないかと思っているのですが。電磁気学よりも目に見えやすいので日常的な感覚だと何に対応するのかと思うのですが。勾配の発散＝ラプラシアン（2回微分の和）であり、これを体積分すると、法線ベクトルと勾配の内積の表面積分になります。これが物理的に何に該当するのかなということなのですが。

お礼日時：2020/07/01 01:42

No.2 回答者： han-ka-2 回答日時： 2020/06/30 20:29

ガウスの発散定理なんて，スカラーの１次元の問題なら単なる部分積分ですよ。

特にポテンシャルの停留問題のような場合，場の方程式と境界条件とが，その停留条件から得られることに使いますよね。そう考えれば，場の高次の微係数に対する，境界における低次の微係数が持つ物理的意味を思い描けば想像できるでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。境界で微係数が１つ減るということは積分された状態の物理量です（勾配は1回微分）。そのベクトルの法線方向との内積が一体何を意味するのかということで、摩擦応力にならないかと思っているのですが。

お礼日時：2020/07/01 01:47

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/06/30 23:52

物理の場の例としては

重力ポテンシャル(重力による位置エネルギー)と重力場
静電ポテンシャル(電位)と静電場。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ポテンシャルは1回微分して物理量を生成するものですね。
ポテンシャル以外だったら、濃度の1回微分に拡散係数をかけたら拡散フラックスです。速度を空間微分して粘性係数をかけたら摩擦応力となります。その辺の考察なんですね。
あと、方向とか法線ベクトルの情報も含めてのことなのですが。

お礼日時：2020/07/01 01:52

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2020/07/01 17:24

ガウスの発散定理は数学的な定理で、言ってしまえばただの式変形ですので、話としてはa+b=b+aに物理的な意味を見出そうとしているのと変わりないようにおもいます。

>領域内部の量の増減と関連して考えると感覚的にわかりやすい定理に見えます
この考え方に到る途中でガウスの発散定理を使っているだけで、話そのものは連続の式(∂ρ/∂t+∇・j=0)の物理的解釈の話になってしまっていると思います。

何かの物理的な関係に関する式の中にガウスの発散定理と同じ形の面積分があった時に、その項をどう解釈するのが良いかはケースバイケースでしょう。
ガウスの発散定理を使って体積積分に書き換えたものの意味を考えても良い訳で、面積分のまま無理に解釈しなければいけない制約をつける意味もないはずです。

> 速度ベクトル(u,v,w)のx成分uはスカラー関数ですが
質問と直接関係はありませんしスカラーやベクトルという言葉の定義次第ですが、通常物理で使う意味(座標変換での変換則に基づくもの)でいうと、ベクトルの成分はスカラーではありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。私の質問はそれをなんと称するかとかいうことと関係するので分野特有のことなのだろうと思います。私は摩擦とかエネルギーの損失とかに結び付けられると腑に落ちるということになります。

スカラー、ベクトル、さらにテンソルは座標変換と結び付けて定義されるのでベクトルの成分はスカラーではないということになるかもしれません。スカラーとは場所の関数であり、座標変換するということはいわば住所の書き方を変えることであり、変換しても同じ場所を指すのだからベクトルの成分（そのとき基底は元のまま）はスカラーとは言い切れないでしょうか。

お礼日時：2020/07/02 14:32

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2020/07/02 20:42

> 私の質問はそれをなんと称するかとかいうことと関係するので分野特有のことなのだろうと思います。

私は摩擦とかエネルギーの損失とかに結び付けられると腑に落ちるということになります。


一般のスカラー場φに対して、∫dS・∇φのような量に特別な名前はついていないと思います。というかベクトル場とか体積積分とか他のケースを含めて、何かの名前がついてる例が思い浮かびません。
摩擦やエネルギー損失に結びつけられる例はあるのかもしれませんが、少なくとも具体例は思い浮かびません。
ただ、一般論として結びつけるのはまず無理でしょう。損失という概念自体、時間変化を考えないと出てくるとは思えませんが、ガウスの発散定理では時間という変数はあってもなくも良い話しかしてませんし。

>スカラー、ベクトル、さらにテンソルは
数学でいうスカラーの話をしてるのであれば、お考えのような話で十分でしょうが、
通常物理でいうスカラーとは座標変換前後で(同じ場所の)値が変わらない量を指します。ベクトルのx成分は例えばx軸の向きを変えるとx成分の値はかわってしまうのでこの意味ではスカラーには分類しません。