積分の問題①

以下、ご教授ください。

問題
f(x)=x√(4-x^2)(0<=x<=2)

関数y=f(x)のグラフと直線y=xのとで囲まれた図形の面積を求めよ。

解答
共有点のz座標が0,√3であることは求めることができています。
しかし、この範囲で積分しようとすると、

√3
∫ {x*√(4-x^2)^1/2 - x}
0

となります。
この積分の仕方が分かりません。
解説をお願いします。

質問者からの補足コメント

• 共有点のz座標が
  →共有点のｘ座標が
  
  ∫ {x*√(4-x^2)^1/2 - x}
  →∫ {x*√(4-x^2) - x}dx
  
  雑な記述で申し訳ありませんでした。
  
  なお、答えは5/6とのことです。
  
  共有点√3と0は用いないのでしょうか？

    補足日時：2020/07/06 20:22

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2020/07/06 19:22

その式おかしくないすか？

ともあれ
　　∫x(√(4-x^2) - 1) dx = (-1/6)(3x^2 + 2(4-x^2)^(3/2))+C
だな。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/06 19:24

え? そんな式には (積分変数が書かれていないことをおいても) ならないよ?

さくっと積分できるけどどうにも困ったら置換積分.

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/07/06 23:08

「共有点√3と0は用いないのでしょうか？」って, 定積分だから使わないと当然答えは出ないよ.

No.4 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/07/08 18:50

4-x²=t とおきます。

-2x=dt/dx
x dx=(-1/2)dt

x:0→√3
t:4→1

∫[x:0→√3] {x√(4-x²) - x}dx
=∫[x:0→√3] {√(4-x²) - 1}x dx
=∫[t:4→1] (√t - 1)(-1/2)dt
=(1/2)∫[t:1→4] (√t - 1)dt
=(1/2) [(2/3)t^(3/2) - t] [t:1→4]
=(1/2){(16/3 - 4) - (2/3 - 1)}
=5/6