三角関数の合成について質問です。 合成の式の作り方の途中に a=rcosα、b=rsinαよってas

三角関数の合成について質問です。
合成の式の作り方の途中に
a=rcosα、b=rsinαよってasinθ+bcosθ=〜
のasinθのbcosθ部分でなぜ sinθにaがかかるのかなぜcosθにbがかかるのか分からないです。加法定理を使っていますと言われてもいまいちピンと来ないので分かりやすく教えてください。

質問者からの補足コメント

• この式です

  
    補足日時：2020/07/31 11:12

• 途中の式とは合成

  
    補足日時：2020/07/31 11:12

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/07/31 11:00

途中だけを示されても解らないでしょ？

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/31 13:14

なぜもへったくれもありません！

スタートがasinθ+bcosθなのです
例えば、物理か何かの実験をして結果を分析した結果　　3sinθ＋4cosθという関係式が得られたとします
さてここからどのように式変形していこうか？というのが解説の趣旨なのです
なぜ3がsinθに掛け算されていて、４がcosθに掛け算されているのか？
それは実験結果がそのように出たからとしか言いようがないのです！

で、解説が言いたいことは　係数3と4に着目してあげれば解決するよ　と言っています
ここからは解説とは少しだけ道が外れますが（結論は一致します）、底辺３、高さ４の直角三角形を意識します
すると三平方の定理により斜辺は5であることがわかります！
斜辺がわかったら、斜辺の長さでくくりだしをします
すると　3sinθ+4cosθ=5{(3/5)sinθ+(4/5)cosθ}ですよね
ここで、直角三角形の底辺と斜辺がなす角度をαとおいてあげれば
sinα=高さ/斜辺=4/5
cosα＝底辺/斜辺=3/5ですから
5{(3/5)sinθ+(4/5)cosθ}＝5{cosαsinθ+sinαcosθ}と変形できます
ここまでくると加法定理の形が見えてきました！
テキストの公式集などをみると、
加法定理：sin(θ+α)=sinθcosα+cosθsinαと書かれていますから
加法定理により
5{cosαsinθ+sinαcosθ}=5sin(θ+α)と変形できるというわけです
これが三角関数の合成のやり方で、今回はa=3,b=4という具体的数値を当てはめたバージョンで説明しましたが
文字a,bのままで変形する場あいでも考え方はこれと全く同じです
a,bで合成するなら
係数を底辺(a)と高さ(b)とする直角三角形を考えて　三平方の定理により
斜辺=√(a²+b²)です
ゆえに、asinθ+bcosθ=√(a²+b²){(a/√(a²+b²))sinθ+(b/√(a²+b²))cosθ}
=√(a²+b²){(底辺/斜辺)sinθ+(高さ/斜辺)cosθ}
=√(a²+b²){cosαsinθ+sinαcosθ}
=√(a²+b²)sin(θ+α)　となるのです
さて、画像解説は直角三角形を意識するよりはP(a,b)という点を意識した変形方法ですが、図をよく見てもらえば
底辺a、高さがb 斜辺がrの直角三角形ができていますよね！
ゆえに、結局私の説明した直角三角形の斜辺とrが一致していて
√(a²+b²)はrに相当しますから
画像解説と直角三角形利用の解説はともに最終目的地
√(a²+b²)sin(θ+α)＝rsin(θ+α)
に到達するのです
（なお、今回はどちらかというとθを鋭角だと思って扱いました。θが鋭角でない場合も理屈は同じですが細かい点では厳密さを欠いていますから
上記が理解できたら、θが鋭角以外についても深く考察してみてください）

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2020/07/31 13:30

何故？って、

rcosαsinθ+rsinαcosθは=rsin(θ+α)になるよ、と言ってるだけ。