連立方程式の解が２通り・・・わかりません

その連立方程式は
　　a+2b=1‥(1)
　　a^2+b^2=1‥(2)

で、解が

a=1,b=0 ; a=-3/5,b=4/5

です。左の方の解はすぐにわかったのですが、右側の解がどうしても導けません。
そもそもなぜ解が２通りあるのでしょうか（(2)が二次式だから？）そこもぜひ教えてください。お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： graduate_student 回答日時： 2005/01/23 02:45

#1です.

訂正です.
(1)をa=の形に変形した後，(2)に代入してください.
それ以降は因数分解してください.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど、a=の形にすればいいんですね。僕は(1)を２乗してしまっていました。これでスッキリしました。ありがとうございました。

お礼日時：2005/01/23 03:33

No.6 回答者： eliteyoshi 回答日時： 2005/01/23 02:55

式(1)より

a=1-2b ・・・(3)
これを式(2)に代入すると

(1-2b)^2+b^2=1
(4b^2-4b+1)+b^2=1
5b^2-4b=0
b(5b-4)=0

となるから、

b=0, 4/5

と求められます。さらに式(3)より

b=0のときa=1
b=4/5のときa=-3/5

だから、連立方程式の答えは
a=1, b=0 ; a=-3/5, b=4/5
となります。

なぜ答えが2通りあるのかというと、図を書くとすぐに分かります。
式(1) a+2b=1　⇒b=-(1/2)a+1/2 ←1次直線
式(2) a^2+b^2=1　←円
横軸a,縦軸bで式(1)(2)の図を書くと式(2)の円と式(1)の直線は座標(1,0)と(-3/5,4/5)の2点で交わるため、答えが2通りあるのです。

この回答へのお礼

わかりやすいご回答ありがとうございました。

お礼日時：2005/01/23 03:38

No.5 回答者： matherlake 回答日時： 2005/01/23 02:54

No.４です

No.２の方の回答とほぼ同じ回答をしてしまいました
すみません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
復習ができてよかったです（笑）

お礼日時：2005/01/23 03:37

No.4 回答者： matherlake 回答日時： 2005/01/23 02:51

座標で考えると

第１式は右下がりの直線
第２式は、原点を中心とする、半径１の円を表しています
したがって交点は、
（１）交わらないときは解なし
（２）１次式が円の接線のときは解がひとつ
（３）交われば解は２つになります

No.2 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/01/23 02:44

>そもそもなぜ解が２通りあるのでしょうか

(1)式は、直線を表して
(2)式は、円を表していると見なすことができます。
２式を満たす解の組は、
円と直線の交点と見なすことができます。
なので、
円と直線が交点を持たない時は、解無し
円と直線が接する時は、解１コ
円と直線が交わる時は、解２コ
となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
たしかにこれは数(2)の図形と式の問題の一部でした。あまり深く意味を考えていなかったのですが、言われてみればその通りですね。式を表面的に見るだけじゃなくて、その式の持つ意味もわかるようになりたいと思いました。

お礼日時：2005/01/23 03:36

No.1 回答者： graduate_student 回答日時： 2005/01/23 02:39

(1)をb=の形に変形して，(2)に代入しましょう.

整理すると5b^2-4b = 0となりますよね.
これをbでくくると
b(5b-4) = 0となり，
b = 0, 4/5が得られます.
あとは，b = 0のときと，b=4/5のときのそれぞれでaを求めましょう.