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滑車の問題です。
半径aで慣性モーメントIの滑車にヒモを巻いて、両端に質量Mの重りをつけたとします(張力はT)。時刻tで一方に角速度ωを与えた際、止まるまでに物体が登った距離を求めたいです。
おそらくエネルギー保存を使うと思うのですが、うまく立式できませんでした。過程を教えていただけると幸いです。

質問者からの補足コメント

  • 条件を間違えてました。
    重りについて片方はm、もう片方はMです

      補足日時:2020/08/11 21:25
  • Mを吊るした方が上がるように角速度を与えます

      補足日時:2020/08/11 21:26

A 回答 (5件)

エネルギー保存を使い計算。



M>mで初期速さをv(Mが上向き)として最終的にMが初期の高さよりh高いところで速度が0になる(静止するのではなくそこから逆向きに動き出す)とする。
位置エネルギーの基準点を各おもりについて初期の位置とする。

初期状態の位置エネルギーは0,運動エネルギーの和は(1/2)(M+m)v^2,滑車の回転エネルギーは(1/2)Iω^2
速度が0になった時点での運動エネルギーと回転エネルギーはともに0,おもりの位置エネルギーはMのほうがMgh増えmのほうがmgh減る。

(1/2)mv^2+(1/2)Iω^2=Mgh-mgh

となる。
また、滑車と糸が滑らない条件から
v=aω

これを解けばよい。
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#3です。



#4様


ご指摘ありがとうございます。最後の式で完全にMの運動エネルギーが抜けていました。
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No.2 です。


#2 に間違いがあったので、修正します。

修正箇所を明示しながら、下記に全文を再掲します。

ヒモが滑車を滑らないという条件で、角速度 ω と周速度は
 v = aω   ①
の関係で対応します。

ヒモの張力を T、滑車を回転させる力を f とすると、おもりMが降下する方向(与えた角速度 ω と逆方向)を正として
・おもり M の運動方程式
 M*dv/dt = Mg - T - f    ②  ←滑車を回転させる力 f は、おもりMの運動に寄与しないので「差し引く」方向に訂正。
・おもり m の運動方程式
 m*dv/dt = T - f - mg    ③  ←滑車を回転させる力 f は、おもりmの運動に寄与しないので「差し引く」方向に訂正。
・滑車の運動方程式
 I*dω/dt = 2af
 → ①を使えば
 I*(1/a)*dv/dt = 2af    ←符号の誤りを訂正
 → f = [I/(2a^2)]*dv/dt    ④

②+③より
 (M + m)dv/dt = (M - m)g - 2f    ←上の訂正により「2f」の符号を変更
④より
 (M + m)dv/dt = (M - m)g - [I/(a^2)]*dv/dt    ←同上
→ [M + m + I/(a^2)]dv/dt = (M - m)g
→ dv/dt = {(M - m)g/[M + m + I/(a^2)]}

これより
 v(t) = {(M - m)g/[M + m + I/(a^2)]}t + C (C:積分定数)
初期条件が
 v(0) = C = -aω
より
 v(t) = {(M - m)g/[M + m + I/(a^2)]}t - aω    ⑤

変位は、これを t で積分して
 x(t) = (1/2){(M - m)g/[M + m + I/(a^2)]}t^2 - aωt    ⑥

⑤より、停止するときつまり v(T)=0 となる時間Tと求めれば
 v(T) = {(M - m)g/[M + m + I/(a^2)]}T - aω = 0
より
 T = aω/{(M - m)g/[M + m + I/(a^2)]} = aω[M + m + I/(a^2)]/[(M - m)g]  ←分子・分母を整理

これを⑥に代入して
 x(T) = (1/2){(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}{aω[M + m + I/(a^2)]/[(M - m)g]}^2 - aω*aω[M + m + I/(a^2)]/[(M - m)g]
   = -(1/2)(aω)^2[M + m + I/(a^2)]/[(M - m)g]
   = -(1/2){ [(M + m)a^2 + I] / [(M - m)g] }ω^2  ←分子・分母を整理

M が「下がる」方向を正としたので、これが負なのは「M が上がる最高点」だからです。従って「登った距離」は
 |x(T)| = (1/2){ [(M + m)a^2 + I] / [(M - m)g] }ω^2   ⑦


#2 には『これは完全に「運動方程式を立てて解く」問題です』と書きましたが、#3 さんのように「エネルギー保存」を使った方が圧倒的に簡単ですね。

ただ、初速を与えたときには「おもりM」も動いていると思うので(その意味で、問題文の「時刻tで一方に角速度ωを与えた」というのは何かおかしい)

 (1/2)(M + m)v^2 + (1/2)Iω^2 = (M - m)gh

でしょう。
これに v=aω を代入して

 h = [(1/2)(M + m)(aω^2 + (1/2)Iω^2] / [(M - m)g]

とすれば、一発で⑦になります。
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No.1 です。

「補足」を見ました。

>条件を間違えてました。
>重りについて片方はm、もう片方はMです

>Mを吊るした方が上がるように角速度を与えます

条件が抜けていますが、
 M > m
なんですよね?

これは完全に「運動方程式を立てて解く」問題です。
ただし、おもりM と m の並進運動と、滑車の回転運動の両方を考慮しないといけません。
ヒモが滑車を滑らないという条件で、角速度 ω と周速度は
 v = aω   ①
の関係で対応します。

ヒモの張力を T、滑車を回転させる力を f とすると、おもりMが降下する方向(与えた角速度 ω と逆方向)を正として
・おもり M の運動方程式
 M*dv/dt = Mg - T + f    ②
・おもり m の運動方程式
 m*dv/dt = T + f - mg    ③
・滑車の運動方程式
 I*dω/dt = 2af
 → ①を使えば
 I*(1/a)*dv/dt = -2af
 → f = [I/(2a^2)]*dv/dt    ④

②+③より
 (M + m)dv/dt = (M - m)g + 2f
④より
 (M + m)dv/dt = (M - m)g + [I/(a^2)]*dv/dt
→ [M + m - I/(a^2)]dv/dt = (M - m)g
→ dv/dt = {(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}

これより
 v(t) = {(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}t + C (C:積分定数)
初期条件が
 v(0) = C = -aω
より
 v(t) = {(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}t - aω    ⑤

変位は、これを t で積分して
 x(t) = (1/2){(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}t^2 - aωt    ⑥

⑤より、停止するときつまり v(T)=0 となる時間Tと求めれば
 v(T) = {(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}T - aω = 0
より
 T = aω/{(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}

これを⑥に代入して
 x(T) = (1/2){(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}{aω/{(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}^2 - aω*aω/{(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}
   = -(1/2)(aω)^2 /{(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}

M が「下がる」方向を正としたので、これが負なのは「M が上がる最高点」だからです。従って「登った距離」は
 |x(T)| = (1/2)(aω)^2 /{(M - m)g/[M + m - I/(a^2)]}
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この回答へのお礼

ありがとうございました!
助かりました

お礼日時:2020/08/12 02:26

>両端に質量Mの重りをつけたとします



つまり、両方に同じ質量のおもりがついていて「つり合う」ということですね?

>時刻tで一方に角速度ωを与えた

これは一種の「慣性運動」ですから、「速度、角速度一定」で、空気の抵抗や滑車の摩擦を考えなければ止まらないと思います。

>おそらくエネルギー保存を使うと思うのですが

一方のおもりが高くなったのと同じ高さ分、他方のおもりは低下しますから、位置エネルギーは言うまでもなく一定です。
両方のおもりに働く重力は等しいですから合力はゼロであり、外部から加わる仕事もありません。
位置エネルギー一定、おもりの運動エネルギー一定、滑車の回転運動エネルギー一定のまま推移するだけです。何も起こりません。

そもそも止まらないのだから、「うまく立式できない」で当然かと思います。
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この回答へのお礼

すみません条件を間違えてました。片方は重さmでもう片方はMです

お礼日時:2020/08/11 21:24

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