面積分について ベクトル記号は省略させてもらいます。 ベクトル場A＝(18x,-12,3y)について

面積分について




ベクトル記号は省略させてもらいます。
ベクトル場A＝(18x,-12,3y)について、曲面S:2x+3y+6z=12(x,y,z>=0)上のAの面積分を求めよという問題です。途中式も含めて解答を教えてくださると嬉しいです

質問者からの補足コメント

• 解答は24とあるのですがなぜそうなるのかわかりません

    補足日時：2020/09/22 10:11

• https://www.dropbox.com/s/v43iyrr9bn63nwu/%E5%86 …

    補足日時：2020/09/22 16:29

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/09/22 17:13

曲面S: x+y+z=1. x,y,z≧0 の f(x,y,z)=x²+y²+z² の面積分

∫g(x,y)|(∂r/∂x)×(∂r/∂y)|dxdy を求める問題。ここで
g(x,y)=f(x,y,1-x-y) , r=<x,y,1-x-y>

したがって、積分範囲はxy平面で x=0～1 , z=0 だから、Sでz=0 として
y=1-x だから　y=0～(1-x)

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2020/09/22 17:39

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/09/22 13:31

同じ問題がありましたが、A=<18z,-12,3y>の誤りと思います。

S面の法線ベクトルNは N=grad(2x+3y+6z)=<2,3,6>
単位法線ベクトルnは　n=<2,3,6>/|<2,3,6>|=<2,3,6>/7
xy平面の微小面dxdy二対応するS面の面積をdSとすると　
dS=dxdy/|n・ez|=dxdy/(6/7)=(7/6)dxdy
A・n=<18z,-12,3y>・<2,3,6>/7=(36z-36+18y)/7
　( z=(12-2x-3y)/6 をいれて )
=(36-12x)/7

∫A・ndS=∫A・ndxdy/|n・ez|
=∫{ (36-12x)/7 } {(7/6)dxdy}=∫(6-2x)dxdy
=∫[x=0→6] ∫[y=0→4-2x/3] (6-2x)dxdy
=∫[x=0→6] { [(6-2x)y] [y=4-2x/3,0] }dx

=∫[x=0→6] { (6-2x)(4-2x/3) }dx
=∫[x=0→6] { 24-4x-8x+4x²/3) }dx
=∫[x=0→6] { 24-12x+4x²/3) }dx

=[24x-6x²+4x³/9] [x=6,0]
=144-36×6+4×4×6=144-216+96=24

この回答へのお礼

ありがとうございます。
リンク先の問題についてアドバイスを貰いたいのですが、自分は写真の通りuとvを取り面積分を求めようと思ったのですが、これにおけるuとvの範囲は0から1でいいのでしょうか？

お礼日時：2020/09/22 16:29