三角関数の問題です。 0≦θ<2πにおいて、次の方程式を解け。 cos3θ-sin2θ+cosθ=0

三角関数の問題です。

0≦θ<2πにおいて、次の方程式を解け。
cos3θ-sin2θ+cosθ=0

これを、３倍角を使わない解き方を教えてください。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2020/09/22 21:19

「３倍角を使わない」というのが何を意味しているのか全く判らないが、

cos3θをcosθかsinθ（両方でもいいけど）で表すように式変形をしないと
解けないのは明白。

あなたの言う「3倍角」が「3倍角の公式」の意味なのであれば、そんな
ものを暗記する必要は全くなく、試験場で、cos（とかsin）の加法定理を
使って自分で導き出せばいいだけのこと。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2020/09/22 21:01

3倍角を使わないならば、2倍角と加法定理を使えば 良いのでは。

cos3θ=cos(θ+2θ)=cosθcos2θ-sinθsin2θ=・・・

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/22 20:53

「３倍角」なんて言葉を知らない私は、加法定理だけを使う。

sin(2θ) = sin(θ+θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ,
cos(2θ) = cos(θ+θ) = cosθcosθ - sinθsinθ
　　　　= (cosθ)^2 - { 1 - (cosθ)^2 } = 2(cosθ)^2 - 1,
cos(3θ) = cos(2θ)cosθ - sin(2θ)sinθ
　　　　= { 2(cosθ)^2 - 1 }cosθ - { 2sinθcosθ }sinθ
　　　　= 2(cosθ)^3 - cosθ - { 2cosθ }{ 1 - (cosθ)^2 }
　　　　= 4(cosθ)^3 - 3cosθ,
を使って
cos(3θ) - sin(2θ) + cosθ
= { 4(cosθ)^3 - 3cosθ } - { 2(cosθ)^2 - 1 } + cosθ
= 4 cos^3(θ) - 2 cos^2(θ) - 2 cos(θ) + 1
= { 2cosθ - 1 }{ 2(cosθ)^2 - 1 } = 0
より、
cosθ = 1/2, ±1/√2.

0 ≦ θ < 2π の範囲で対応する θ は、
cosθ = 1/2 に対して θ = π/3, (5/3)π
cosθ = 1/√2 に対して θ = π/4, (7/4)π
cosθ = -1/√2 に対して θ = (3/4)π, (5/4)π
の合計 ８個。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/22 18:30

倍角の公式はいいんだよね。

cos3θ-sin2θ+cosθ=0
cos2θcosθ-sin2θsinθ-2sinθcosθ+cosθ=0
cosθ(1 - 2(sinθ)^2) - 2cosθ(sinθ)^2 - 2sinθcosθ + cosθ=0
cosθ(1 - 2(sinθ)^2 - 2(sinθ)^2 - 2sinθ + 1)=0
cosθ(-4(sinθ)^2 - 2sinθ + 2)=0
-2cosθ(2(sinθ)^2 + sinθ - 1)=0
-2cosθ(2sinθ-1)(sinθ+1)=0
cosθ=0
sinθ=1/2
sinθ=-1

θ=(1/2)π, (3/2)π
θ=(1/6)π, (5/6)π
θ=(3/2)π

以上より、θ=(1/6)π, (1/2)π, (5/6)π, (3/2)π