次の問題の②の証明と問題のランク(大学受験)を教えて下さい。

集合Aは１と２を要素に持ち次の条件をみたす。
xかつyがAの要素ならxy+x+yもAの要素である。
１と２以外のＡの要素ｚに対してｚ＝xy+x+yを満たすｘとyがＡに存在する。
①20以下のＡの要素の個数を求めよ。
　答　1 2 3 5 7 8 11 15 17 の9個
②ｚ+１の因数となりえる素数はいくつあるか。
　答　２と３の2個　①の答に１を足して素因数分解すれば推測できる。
質問は②の証明
ｚ+１が２と３以外の素因数をｐを持つと仮定し、
最小のものをｚ＋１＝aｐ(ａは自然数) とすると、
ｚ＋１＝aｐ＝xy+x+y＋１＝(x＋1)(y＋1)をみたすxとyが集合Aに存在する。
ｘ＋１とｙ＋1は２以上の整数であり、片方はpの倍数である。
仮にｘ＋１がｐの倍数とすると１＜ｘ＋１＜apより０＜ｘ＜ap－1
これはｚ＝ap－１の仮定と矛盾する。

この最後の所が何と矛盾するのかわかりません。
ここの説明と他の証明があればお願い致します。
また、大学受験においてこの問題のレベルはどのレベルでしょうか。
答だけと記述で違うと思いますが、コメントお願いしますm(__)m

質問者からの補足コメント

• 

  写真が上手く載せられなくて手打ちしましたが、元の問題と解法はこちらです。http://xfs.jp/taFisK

    補足日時：2020/11/21 23:34

No.1 回答者： 一等星は一番明るいと思ってる人 回答日時： 2020/11/22 00:25

質問にある解答では間違っていると私は思います。

以下解答。
Aに属する任意の要素が2^k3^l-1(k,lは0以上の整数)であることを示す。実際1=2^03^0,2=2^13^0である。またx,yがそれぞれ2^(k1)3^(l1)-1,2^(k2)3^(l2)-1と表せるとき(xy+x+y)もAに属するが、(xy+x+y)+1=(x+1)(y+1)=2^(k1+k2)3^(l1+l2)だからxy+x+yも2^k3^l-1と表せる。従ってAの任意の要素は2^k3^l-1と表せるから(任意のAの要素)+1の素因数は2,3のみ。

この解法からわかるように最初に与えられている二つの要素+1の素因数がそのまま答えに出てくるわけです。最初が2,4なら答えは3,5というように。よって質問にある解答では矛盾を導けません。難易度でいえば誘導で2,3のみを素因数にもつことにヒントがついていてz+1の因数分解も分かりやすいので難しくはないと思います。この手のある規則に従って集合を作っていく問題は帰納法的考えでうまくいくことがあるのは分かってた方がいいと思います。がんばってください。

この回答へのお礼

なるほど。そのような解法も出来るのですね！
参考になります。ありがとうございました。m(__)m

お礼日時：2020/11/23 01:56

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/11/22 19:24

z+1 を２と３以外の素数 p の倍数と仮定し、最小のものを z+1=ap （a は自然数）としました。

（ｚ∈A）
ところが、x+1 は p の倍数で、1<x+1< ap （x∈A）です。x+1 は p の倍数で ap より小さいというですから、x+1 は z+1 より小さいということです。これは、z+1 が最小であることに矛盾します。
レベルは普通でしょうか。

この回答へのお礼

ん～なんとかわかりました。
この手の証明は、なんかしっくりこない流れの事も多くて…√３が無理数でない事の証明とかも初めて見た時はピンとこなかったのですが、今は慣れたのか普通に感じますが。
なんにしても、疑問だった文章は解決しました。ありがとうございます！

お礼日時：2020/11/23 02:00

No.3 回答者： 一等星は一番明るいと思ってる人 回答日時： 2020/11/23 02:02

すいません！「最小のものを」の部分を見落としてました……申し訳ない

この回答へのお礼

いえいえ、答て頂けて大変嬉しかったです！

お礼日時：2020/11/23 03:26