積分の問題です ∫sinxcosxdxを置換積分で解こうとしてcosxをtと置いたところ答えが違い、

積分の問題です
∫sinxcosxdxを置換積分で解こうとしてcosxをtと置いたところ答えが違い、どうやらsinxをtと置かなければならない様でした。こういう時なにをtとおくか見分けるコツみたいなものはありますか？

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/24 22:26

特に決まったルールはないね。

今回の問題の場合、t=cosx, t=sinxのどちらでも計算の手間は同じくらいかな。
三角関数の不定積分は、三角関数の特性から、以下のように異なる積分結果が出ることがある。検算してあっていれば問題ないよ。

t=cosxだと、dt/dx=-sinxより、
∫ sinx cosx dx=-∫ t dt
=(-1/2)t^2 + C
=(-1/2)(cosx)^2 + C

t=sinxだと、dt/dx=cosxより、
∫ sinx cosx dx=∫ t dt
=(1/2)t^2 + C
=(1/2)(sinx)^2 + C
=(1/2)(1 - (cosx)^2) + C
=(-1/2)(cosx)^2 + C + 1/2
=(-1/2)(cosx)^2 + C' (C'=C + 1/2)

倍角の公式を使うやり方だと、
∫ sinx cosx dx=∫ (1/2)sin2x dx
=(-1/4)cos2x + C
=(-1/4)(2(cosx)^2 - 1) + C
=(-1/2)(cosx)^2 + C + 1/4
=(-1/2)(cosx)^2 + C'' (C''=C + 1/4)

どれも全部微分すると、sinx cosxになる。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/11/24 18:30

「本質的には同じ結果なんだけど見た目が違うだけ」かもしれんけどね.

不定積分だとときどきある.

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/24 16:08

cosx=tでも行けるはずです

置き方の問題ではなくて別のところにミスがあったのでは

積分はたくさん解いて感を養うことが大切かもしれません
もちろん、この型の積分はこのようにやるというセオリーはありますが
セオリーは参考書などで必ず紹介されていますので
それらを覚えるのも良いです

sinxcosxのような三角関数の積の積分では
三角関数の種々の公式をつかって　積の形を解消するのも有力ですよ
（公式で　積と惜別です！！）
この場合は倍角公式を意識
もしくは積和の公式で　
sinxcosx=(1/2)sin2xとしてしまうと
積分が楽なような気がしますが　いかがですか？