位数が4の群で、巡回群になる例とならない例は何でしょうか？ 説明もしていただけると、助かります。

位数が4の群で、巡回群になる例とならない例は何でしょうか？

説明もしていただけると、助かります。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/11/29 04:15

巡回群になる例)

Z/4Z={0,1,2,3}は位数4の巡回群
x(+)y=(x+y)mod4=((x+y)を4で割った余り)

+|0,1,2,3
0|0,1,2,3
1|1,2,3,0
2|2,3,0,1
3|3,0,1,2

巡回群にならない例)
Z/2Z×Z/2Z={0,1}×{0,1}={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
は位数4の巡回群ではない群
(a,b)(+)(x,y)=((a+x)mod2,(b+y)mod2)
=((a+x)を2で割った余り,(b+y)を2で割った余り)

+....|(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)
(0,0)|(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)
(0,1)|(0,1),(0,0),(1,1),(1,0)
(1,0)|(1,0),(1,1),(0,0),(0,1)
(1,1)|(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)