No.5ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
>14(x-1)+8(y+1)-1(z-3)=0
>とするのはなんででしょうか?
図形の方から説明すると、
14x+8y-z=0
という平面は、求める平面に平行で、原点を通ります。
この平面を例えば,x方向に1,y方向に-1,z方向に3だけ平行移動してやると、原点が点(1,-1,3)に移ることから、
点(1,-1,3)を通る平面(平行移動しただけなので、求める平面に平行でもある)となります。
法線と通る点を与えれば、平面は一意に決まりますから、
14(x-1)+8(y+1)-(z-3)=0
が求めるべき方程式という事になります。
式の方から説明するなら、(↑とほぼ同じなので、こっちは、一般性を持たせます)
A,B,Cが既知なら、Ax+By+Cz+D=0において、あとはDを求めるだけです。(X,Y,Z)を通るとすれば、
D=-AX-BY-CZより、平面の方程式は
Ax+By+Cz-AX-BY-CZ=0
A(x-X)+B(y-Y)+C(z-Z)=0
となりますね。
ちなみに、
Dというのは、
法線ベクトル(A,B,C)と平面上の点(x,y,z)の位置ベクトルの内積(に-1をかけたもの)と考える事ができますね。(Ax+By+Cz=-Dなので)
したがって、|D|/√(A^2+B^2+C^2)が平面と原点の距離となります。
(とくに、√(A^2+B^2+C^2)=1となるようにA,B,Cを選べば、|D|が平面と原点の距離になりますね)
√(A^2+B^2+C^2)=1の時、Dは平面と原点との距離を表します。
No.4
- 回答日時:
Dが、Ax+・・・・+D=0 のことを言っておられるのであれば、このDは、距離ではありませんよ
定数です
今 法線が v=(14,8,-1)と出してくれてい ますが これが、(1,-1,3)をとおりますから
代入すると平面は
14(x-1)+8(y+1)-1(z-3)=0
これを展開したときの、定数です
あえて言えば、その|D|は、平面を平行移動して原点を通した時の移動した分のベクトルの大きさでしょう
なるほど。
距離として求めているわけではありませんが、
結局原点からの移動分と同じって分けですね。
ただ、平面上の点を代入して、
14(x-1)+8(y+1)-1(z-3)=0
とするのはなんででしょうか?
かなり前にやった基礎的なことですが・・・
イメージがわきません。。。
No.3
- 回答日時:
ただ解くだけならば、平面の方程式(の公式)を知らなくても、2つのベクトルの線形結合を考えれば、平面の式が求まるのではないでしょうか?
つまり、3点のうちの2点を始点と終点とする2つのベクトルを考えて、それらをa,bとする。(ただし、互いに逆ベクトルとなっていないものを選ぶ。)例えば、
a=(1,-1,3)-(-2,5,9)
=(3,-6,-6)
b=(1,-1,3)-(-1,2,-1)
=(2,-3,4)
すると、この3点を通る平面上の任意の点Pの位置ベクトルp(x,y,z)は、この2つのベクトルa,bの線形結合を用いて、
p=(x,y,z)
=ma+nb+c
=m(3,-6,-6)+n(2,-3,4)+(1,-1,3)
=(3m+2n+1,-6m-3n-1,-6m+4n+3)
と表される。
(ただし、m,nは定数とし、ベクトルcは初めに与えられた3点の中のどれかの位置ベクトル、例えば点(1,-1,3)の位置ベクトルとする。)
すると、点P(x,y,z)について、
x=3m+2n+1 ・・・(1)
y=-6m-3n-1 ・・・(2)
z=-6m+4n+3 ・・・(3)
だから、(2),(3)より、
m=1/42(-4y-3z+5)
n=1/7(-y+z-4)
となるので、これらを(1)に代入して、
x=3/42(-4y-3z+5)+2/7(-y+z-4)+1
これを整頓して、
14x+8y-z-3=0
と求まります。
No.2
- 回答日時:
ん? 3点を通る(含む)平面ですよね。
であれば、ベクトルとか難しいことを考えなくても、「3点の座標を平面の式に代入して、係数の連立方程式を解く」というやり方でいいのでは。
(1,-1,3)を通るから、a-b+3c+d=0
(-2,5,9)を通るから、-2a+5b+9c+d=0
(-1,2,-1)を通るから、-a+2b-c+d=0
となって、これを解くと、
a=-14c, b=-8c, d=3c
となるので、平面の式は、
-14cx-8cy+cz+3c=0
∴14x+8y-z-3=0
となります。
No.1
- 回答日時:
法線が求まったということは、A,B,C(の比)が求まったんですよね?
求める平面上の任意の点(X,Y,Z)は
AX+BY+CZ+D=0
つまり、
D=-(AX+BY+CZ)
を満たします。
A,B,C(の比)が分かっていて、通る点は与えられているので。。。
まぁ、A(x-X)+B(y-Y)+C(z-Z)=0を展開してもいいですが。
あと関係ないですが、
>3つの座標から2つを取り出しベクトルをつくり、そのベクトルと平面の法線の内積が0になるという方程式を3座標の3つの組み合わせ分作成し、連立させて解きました.
法線を求めるだけなら、このベクトルの外積を求めた方が楽かもしれませんね。
そうですね。平面上の点を代入すれば、それでDの値は求まりますね。ありがとうございます。
ただ、平面上の点を代入すると原点と平面の距離が求まるというのが、図的にしっくりこないんですよね・・・
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 ベクトル方程式(ヘッセの標準形)についての質問 2 2022/04/23 18:00
- 数学 球面と接する直線の軌跡が表す領域 4 2023/07/30 12:37
- 数学 ベクトル方程式の問題についてです。 直線L(x,y)=(0, -3)+s(1, 4)について、点P( 2 2022/06/19 11:43
- 数学 第4問 座標平面上に3点 A(1, 1),B(1, 5), C(7, 3) を頂点とするABCがある 2 2022/10/01 14:53
- 物理学 面積速度一定の法則を(1/2)r v sinθを使って証明する方法 2 2023/06/25 12:43
- 数学 この問題がわかりません。 B(2,1,-1)を通り、法線ベクトルn*=(3,-1,2)の平面αの平面 4 2022/05/09 16:47
- 数学 この問題が分かりません! 右図の直線①②の式は、y=-x+4①、 y=3/4x+1② である。2つの 3 2022/05/04 22:29
- 数学 3次元実ベクトル空間において, 平面 P:x-y+z+1=0 と直線 L:2(x-1)=-y=-z 3 2022/10/29 14:39
- 数学 x^2+y^2*+z^2=169の点(5,12,0)における接平面の方程式を求めよという問題です。自 1 2022/12/24 00:40
- 数学 (1)の平面の式を求める問題で ABベクトルとACベクトルの外積が平面の法線になるから ax+by+ 2 2023/04/13 13:50
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
おすすめ情報